（讲义）第10章 10.2 10.2.2 复数的乘法与除法-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

10.2.2　复数的乘法与除法 1．能进行复数代数形式的乘法和除法运算．(重点) 2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(重点、难点) 3．了解实系数一元二次方程在复数范围内的解集．(难点) 通过复数的乘法、除法运算法则及运算性质的学习，提升数学运算、逻辑推理素养． 两个实数的积、商是一个实数，那么两个复数的积、商是怎样的？怎样规定两个复数的乘除运算，才能使在复数集中的乘法、除法与原实数集中的有关规定相容？复数的加减运算把i看作一个字母，相当于多项式的合并同类项，那么复数乘法是否可以像多项式乘法那样进行呢？ 思考：(1)多项式(a＋b)(c＋d)的运算结果是什么？ (2)复数(a＋bi)(c＋di)的运算结果是什么？ 知识点1　复数的乘法 1．复数乘法的定义 一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定： z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． 2．复数乘法的运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 3．复数乘法的运算性质 zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1z2)n＝zz．(其中m，n∈N*)． 4．i的乘方运算性质 i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i；i4n＝1． [拓展]　 (1)若规定i0＝1，i－m＝(m∈N*)，则i的幂的周期性可推广到整数，即m∈Z时上式都成立． (2)利用i的幂的周期性可解决i的高次幂问题． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若复数z的共轭复数为，z＝a＋bi，则z·＝a2＋b2． (　　) (2)若z∈C，则z2＝|z|2． (　　) (3)若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 2．计算：(2－i)(1＋i)＝ ． 3＋i　[(2－i)(1＋i)＝2－i2＋i＝3＋i．] 知识点2　复数的除法 1．复数除法的定义 如果复数z2≠0，则满足zz2＝z1的复数z称为z1除以z2的商，并记作z＝(或z＝z1÷z2)，z1称为被除数，z2称为除数． 2．复数除法的意义 一般地，给定复数z≠0，称为z的倒数，z1除以z2的商也可以看成z1与z2的倒数之积，显然，利用“分母实数化”可以求出任意一个非零复数的倒数，以及任意两个复数的商(除数不能为0)．当z为非零复数且n是正整数时，规定z0＝1，z－n＝． 3．复数倒数运算 设z＝a＋bi，则＝，且＝． 4．复数的除法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)， ＝＝＋i． 3．(1)设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于　(　　) A．－i B．i C．－1 D．1 (2)＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1＋i D．1－i (1)A　(2)B　[(1)z＝＝－i． (2)先进行复数的乘方运算，再进行除法运算． ＝＝＝＝－1＋i．] 知识点3　实系数一元二次方程在复数范围内的解集 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a ，b，c∈R且a≠0)在复数范围内总是有解的，而且 (1)当Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根． (2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根． (3)当Δ＝b2－4ac＜0时，方程有两个互为共轭的虚数根． 4．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则(　　) A．b＝2，c＝3 B．b＝－2，c＝3 C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1 B　[实系数方程虚根成对，所以1－i也是方程x2＋bx＋c＝0的一个根， 由根与系数的关系得，－b＝(1＋i)＋(1－i)＝2， c＝(1＋i)(1－i)＝1＋2＝3． 所以b＝－2，c＝3．故选B．] 类型1　复数代数形式的乘法运算 【例1】　(1)已知a，b∈R，i是虚数单位．若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝(　　) A．5－4i B．5＋4i C．3－4i D．3＋4i (2)复数z＝(3－2i)i的共轭复数等于(　　) A．－2－3i B．－2＋3i C．2－3i D．2＋3i (3)i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝ ． (1)D　(2)C　(3)5－5i　[(1)由题意知a－i＝2－bi，所以a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i． (2)因为z＝(3－2i)i＝3i－2i2＝2＋3i