（讲义）第10章 10.1 10.1.1 复数的概念-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

10.1　复数及其几何意义 10.1.1　复数的概念 1．了解数集的扩充过程，了解引进复数的必要性．(重点) 2．理解复数及其相关概念：实部、虚部、虚数、纯虚数等，明确复数的分类．(重点、难点) 3．理解复数的代数表示法．(重点) 4．掌握复数相等的充要条件，并能应用这一条件解决有关问题．(易混点) 1．通过学习数系的扩充，培养逻辑推理的素养． 2．借助复数的概念，提升数学抽象的素养． 远古时期，人类常用“结绳计数”或“堆石”计数或刻痕计数，从中逐步产生了自然数的概念，在分配劳动成果的过程中，产生了“正分数”的概念，随着人类商品交换时代的来临，为了表示相反意义的量，又引入了“负数”的概念，至此人们认为所有的数都可以用两个互质的整数的比值来表示．然而，随着人类种植活动的兴盛，在丈量土地、计算长度、计算产量过程中产生了经验几何学，其中在勾股定理使用中发现：在求两直角边长度都是“1”的直角三角形斜边的时候，其斜边长度不能用任何有理数来表示，于是引入了无理数，把数集扩充为实数集．数集发展的动力和原因是什么？还有没有比实数集范围更大的数集呢？ 知识点1　复数的概念 (1)数系的扩充及对应的集合符号表示 (2)复数的有关概念 1．(1＋)i的实部与虚部分别是(　　) A．1，　　　 B．1＋，0 C．0,1＋ D．0，(1＋)i C　[(1＋)i可看作0＋(1＋)i＝a＋bi，a，b∈R，所以实部a＝0，虚部b＝1＋．] 知识点2　复数的分类 1复数a＋bia，b∈R (2)集合表示 2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数． (　　) (2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数． (　　) (3)bi是纯虚数． (　　) [提示]　(1)×　当b＝0时，z＝a＋bi为实数． (2)√ (3)×　当b＝0时，bi＝0为实数． [答案]　(1)×　(2)√　(3)× 知识点3　两个复数相等的充要条件 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中，任取两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d． 两个实数可以比较大小，复数集中不全是实数的两个数能否比较大小？为什么？ [提示]　不能比较大小，如i和0． 若i＞0，则i·i＞0·i，即－1＞0，不成立． 若i＜0，则i·i＞0·i，即－1＞0，不成立． 3．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为 ． 1，－1　[因为(x＋y)i＝x－1，所以 所以x＝1，y＝－1．] 类型1　复数的概念 【例1】　(1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0．其中真命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是a＝ ，b＝ ．　 (3)下列命题正确的是 ．(填序号) ①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋2i的充要条件是x＝1，y＝2； ②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应； ③实数集的补集是虚数集． (1)B　(2)±　5　(3)③　[(1)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1＜0，所以①为假命题； 对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题； 对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，所以③为真命题． (2)由题意，得a2＝2，－(2－b)＝3，所以a＝±，b＝5． (3)①由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题． ②当a＝0时，ai＝0为实数，故②为假命题． ③由复数集的分类知，③正确，是真命题．] 准确理解复数的实部与虚部的概念 复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚数单位的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部． 1．(多选题)已知i为虚数单位，下列说法中正确的是(　　) A．若a≠0，则ai是纯虚数 B．虚部为－的虚数有无数个 C．实数集是复数集的真子集 D．两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等 BCD　[对于A，若a＝i，则ai＝i2＝－1，不是纯虚数，故A错误；对于B，虚部为－的虚数可以表示为m－i(m∈R)，有无数个，故B正确；根据复数的分类，C正确；对于D，两个复数相等一定能推出实部相等，必要性成立，但两个复数的实部相等推不出两个复数相等，充分性不成立，故D正确．] 类型2　复数的分类 【例2】　(1)复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是(　　) A．|a|＝|b|