（讲义）第10章 10.1 10.1.2 复数的几何意义-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

10.1.2　复数的几何意义 1．了解复平面、实轴、虚轴、共轭复数等概念．(易混点) 2．掌握复数的几何意义，并能适当应用．(重点、易混点) 3．掌握共轭复数、复数模的定义及求模公式．(重点) 1．通过复数的几何意义，体会直观想象的素养． 2．借助复数的几何意义解题，培养数学运算的素养． 19世纪末20世纪初，著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理时，首次引进“复数”这个名词，他把复数与平面内的点一一对应起来，创立了复平面，依赖平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础．复数的几何意义，从形的角度表明了复数的“存在性”，为进一步研究复数奠定了基础． 思考：实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数该怎样来表示呢？ 知识点1　复平面的概念和复数的几何意义 1．复平面 (1)复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面． (2)实轴和虚轴：在复平面内，x轴上的点对应的都是实数，因此x轴称为实轴，y轴上的点除了原点外，对应的都是纯虚数，为了方便起见，称y轴为虚轴． 2．复数的几何意义 平面直角坐标系中的点Z(a，b)唯一确定一个以原点O为始点，Z为终点的向量，则 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)． (2)复数z＝a＋bi平面向量． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上． (　　) (2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数． (　　) (3)复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第三象限． (　　) [提示]　(1)√　 (2)×　虚轴上的点除原点外所对应的复数都是纯虚数． (3)√　z＝－1－2i对应的点Z(－1，－2)，位于第三象限． [答案]　(1)√　(2)×　(3)√ 知识点2　复数的模与共轭复数 1．共轭复数 (1)如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数．复数z的共轭复数用表示． (2)在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数． 2．复数的模 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则向量＝(a，b)的长度称为复数z＝a＋bi的模(或绝对值)，复数z的模用|z|表示，因此|z|＝． 2．(1)已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为(　　) A．1或3 B．1 C．3 D．2 (2)若复数z1＝3＋ai，z2＝b＋4i(a，b∈R)，且z1与z2互为共轭复数，则z＝a＋bi的模为 ． (1)A　(2)5　[(1)依题意可得＝2，解得m＝1或m＝3． (2)因为z1＝3＋ai，z2＝b＋4i互为共轭复数， 所以所以z＝－4＋3i， 所以|z|＝＝5．] 类型1　复数与复平面内点的关系 【例1】　(1)复数z＝－1＋2i所对应的点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)当<m<1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (3)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　) A．(－3,1) B．(－1,3) C．(1，＋∞) D．(－∞，－3) (1)B　(2)D　(3)A　[(1)由复数的几何意义知z＝－1＋2i对应复平面中的点为(－1,2)，而(－1,2)是第二象限中的点，故选B． (2)因为<m<1，所以3m－2>0，m－1<0，所以点(3m－2，m－1)在第四象限． (3)z＝(m＋3)＋(m－1)i对应点的坐标为(m＋3，m－1)，该点在第四象限， 所以 解得－3＜m＜1． 故选A．] 如何解答复数与复平面内点的关系问题？ 确定复数对应的点在复平面内的位置时，关键是理解复数与该点的对应关系，复数的实部就是该点的横坐标，复数的虚部就是该点的纵坐标，据此可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程或不等式求解． 1．在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上．分别求实数m的取值范围． [解]　复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2． (1)由题意得m2－m－2＝0， 解得m＝2或m＝－1． (2)由题意得 所以 所以－1＜m＜1． (3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2．所以m＝2． 综上所述，(1)当m＝2或m＝－1时，复数z对应的点在虚轴上； (2)当－1＜m＜1时，复数z对应的点在第二象限； (3)当m＝2时，复数z对应的点在直线y＝x上．