2024年河南省中考数学二轮复习微专题 二次函数中的线段、面积问题 课件

二次函数中的线段、面积问题 1 类型1 二次函数中的线段问题 2 3 图（1） 例1 一题多问如图（1），抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，作直线 ， 点 是直线 上方的抛物线上一动点，过点 作 轴 的平行线，交直线 于点 ，交 轴于点 ，设点 的横坐标为 . 4 （1）用含 的代数式表示 的长，并求 长的最大值. [答案] 易求直线 的表达式为 . 点 的横坐标为 ， 轴， ， ， ， 当 时， 的长最大，最大值为2. （2）当 时，直接写出 的值. [答案] . 5 （3）过点 作 于点 ,求 周长的最大值. [答案] 易知 ， ， 的周长 ， 当 的长最大时， 的周长最大，最大值为 . 6 提分技法 解决二次函数中线段长的最大值问题的方法 方法一（利用二次函数的性质求解）: 1.找出与所求线段密切相关的“横平竖直”的线段，并求出两者的数量关系（若图中未给出这样的“横平竖直”的线段，则需要作辅助线）； 2.设出未知数（通常设一个与所求线段密切相关的点的横坐标）； 3.用含未知数的代数式表示出“横平竖直”的线段的长，继而表示出所求线段的长； 4.利用二次函数的性质求最值. 7 方法二（利用函数与方程的关系求解）: 1.过所求线段在抛物线上运动的端点作另一端点所在直线（记为已知直线） 的平行线，记为直线 ； 2.设出直线 的表达式，并与抛物线的表达式联立，根据直线 与抛物线有且 只有一个交点时直线 与已知直线的距离最大，可求得直线 的表达式； 3.利用题中条件求直线 与已知直线的距离，即可求得所求线段的最大值. 8 解决二次函数中图形周长最大问题的方法 解决此类问题时，应利用转化思想,即先观察图形,结合题目弄清楚图形各边与其中一边（一般为“横平竖直”的边）的数量关系，再求周长与该“横平竖直”的边的数量关系，即将求周长的最大值问题转化为求线段长的最大值问题. 9 （4）如图（2），连接 交直线 于点 ，求 的最大值. 图（2） 10 [答案] 易求 . 过点 作 轴，交 于点 ，则 . 易证 ， ,又 , 当 时， 取得最大值， 的最大值为 . 11 图（3） （5）如图（3），点 为直线 上一动点，连接 ， ，求 的最小值. [答案] 作点 关于直线 的对称点 ,则点 的坐标为 . 连接 交 于点 ，当点 与点 重合时， 的值最小，最小值为 的长，此时 . 12 类型2 二次函数中的面积问题 13 14 15 例2 一题多问 如图（1），抛物线 与 轴交于 ， 两点， 与 轴交于点 ,直线 经过点 ，交 轴于点 ,且与抛物线交于另 一点 ，点 是直线 上方的抛物线上的一动点，连接 ， ，设点 的横坐标为 . 图（1） 16 （1）点 的坐标为_ _____,点 的坐标为_________. （2）求 面积的最大值. [答案] 方法一：过点 作 轴，交直线 于点 ，则 . , 的最大值为27. 17 方法二：过点 作直线 ，当直线 与抛物线有一个公共点时，点 到 直线 的距离最大，即 最大. 设此时直线 的表达式为 ，直线 与 轴的交点为 ，则方程 有两个相等的实数根，据此求得 的值为6， , 的最大值为 . 18 提分技法 求二次函数中三角形面积最大值问题的常见方法 方法一：设动顶点的横坐标为 ,用含 的代数式表示出三角形的面积，再 利用二次函数的性质求三角形面积的最大值. 方法二：找到所求三角形三边中的定边，过动顶点作平行于这条定边的平行 线，当平行线和抛物线有且只有一个交点时，三角形的面积最大. 19 三角形面积最大值问题的相关结论 本例中， 取得最大值时，点 的位置和点 ， 关系密切.当点 的横 坐标与线段 中点的横坐标相同，即 时， 最大. （3）连接 ，当 时，求点 的横坐标. [答案] 过点 作直线 的平行线，交抛物线于点 ， ，当点 与点 或 重合时， . 易求直线 的表达式为 . 令 ,解得 ，故符合题意的点 的横坐标为 . 20 图（2） （4）如图（2），连接 , ，过点 作 轴的平行线 ，分 别交折线 、线段 于点 ， ，当 的面积被直线 分为 的两部分时，求点 的横坐标