(教参)阶段小卷(三)[6.4 平面向量的应用]-【精彩三年】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册课程探究与巩固教师用书word+课件PPT（人教A版，全国Ⅰ卷）

阶段小卷(三)[6.4] [时间：40分钟　满分：100分] 学科网（北京）股份有限公司 一、单选题(本大题共7小题，每小题5分，共35分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．2023·浙江9＋1高中联盟高一在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＝3，c＝1，∠B＝2∠C，则等于(　A　) A．1 B． C．3 D．3 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos B＝b sin A，C＝，c＝2，则b＝(　B　) A． B．2 C． D．2 3．2023·山东省实验中学高一△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝30°，c＝10.如果△ABC有两解，则a的取值范围是(　D　) A． B． C． D． 4．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m，则河流的宽度BC等于(　D　) A．240m B．180m C．160m D．120m 【解析】 由题可得∠ACB＝30°，所以sin 30°＝，则AC＝120， 在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝105°， sin ∠ABC＝sin 105°＝sin ＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝， 由正弦定理可得＝，即＝，解得BC＝120m. 5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2c，若3sin C＝2sin B，则cos A的值为(　D　) A． B． C．－ D．－ 【解析】 因为3sin C＝2sin B，由正弦定理可得3c＝2b，所以b＝.又a＝2c， 所以cos A＝＝＝－. 6．2023·湖州二中高一在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且a＝1，4S＝b2＋c2－1，则△ABC外接圆的面积为(　B　) A． B．π C．2π D．4π 【解析】 由a＝1及4S＝b2＋c2－1，得4S＝b2＋c2－a2， 所以4××b×c×sin A＝2×b×c×cos A，即cos A＝sin A， 于是有tan A＝.因为0<A<π，所以A＝， 所以△ABC外接圆的半径为r＝＝＝1， 所以△ABC外接圆的面积为πr2＝π. 7．一个骑行爱好者从A地出发向西骑行了2 km到达B地，然后再由B地向北偏西60°骑行2 km到达C地，再从C地向南偏西30°骑行了5 km到达D地，则A地到D地的直线距离是(　B　) A．8 km B．3 km C．3 km D．5 km 【解析】 如图，在△ABC中，∠ABC＝150°，AB＝2，BC＝2，依题意，∠BCD＝90°， 在△ABC中，由余弦定理得， AC＝ ＝＝2， 由正弦定理得，sin ∠ACB＝＝， 在△ACD中，cos ∠ACD＝cos (90°＋∠ACB)＝ －sin ∠ACB＝－，由余弦定理得， AD＝ ＝＝3， 所以A地到D地的直线距离是3km. 二、多选题(本大题共2小题，每小题5分，共10分) 8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论中，正确的有(　ABC　) A．若A>B，则sin A>sin B B．若△ABC为锐角三角形，则sin A>cos B C．若sin2A＋sin2B＝sin2C，则△ABC为直角三角形 D．若sin2A＝sin 2B，则△ABC一定是等腰三角形 【解析】 对于A，因为A>B，可得a>b，所以2R sin A>2R sin B，所以sin A>sin B，所以A正确； 对于B，由△ABC为锐角三角形，可得A＋B>，则A>－B.因为A，B∈，可得－B∈，又由函数y＝sin x在上单调递增，所以sin A>sin ＝cos B，所以B正确； 对于C，sin2A＋sin2B＝sin2C，由正弦定理可得a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形，所以C正确； 对于D，由sin2A＝sin 2B，可得2A＝2B或2A＝π－2B，可得A＝B或A＋B＝，所以△ABC不一定是等腰三角形，所以D不正确． 9．2023·金华十校高一在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的是(　AD　) A．A>B是sin A>sin B的充要条件 B．AB＝2，∠B＝45°，若AC＝3，则这样的三角形有两个 C．若·<0，则△ABC为钝角三角形 D．△ABC的面积公式为S＝a2 【解析】 若A>B，则a>b，由正弦定理得sin A>sin B； 若sin A>sin B，则a>b，从而A>B，所以A正确； 由正弦定理＝得sin C＝＝<， 所以C<45°，只有