(教参)阶段小卷(二)[6.3 平面向量基本定理及坐标表示]-【精彩三年】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册课程探究与巩固教师用书word+课件PPT（人教A版，全国Ⅰ卷）

阶段小卷(二)[6.3] [时间：40分钟　满分：100分] 学科网（北京）股份有限公司 一、单选题(本大题共7小题，每小题5分，共35分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．2023·宁波六校联盟高一已知向量a＝，b＝，则a－3b的坐标为(　B　) A． B． C． D． 2．已知向量a＝，b＝，c＝，若(a－kb)∥c，则k＝(　C　) A．3 B．－3 C． D．－ 3．设x，y∈R，向量a＝，b＝，c＝，若c＝xa＋yb，则x＋y＝(　C　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 4．若a＝，b＝，a⊥，则m＝(　A　) A．1 B．－1 C．0 D．2 【解析】 因为a＝，b＝，所以a－2b＝， 因为a⊥，所以a·＝0，即1＋m＝m2－2m＋1＝0，解得m＝1. 5．如图，每一个小正方形的边长均为1，则(＋)·＝(　D　) A．0 B．1 C．－2 D．－1 【解析】 由题把图形看作平面直角坐标系的一部分，则＝，＝，＝， ∴(＋)·＝·＝－3＋2＝－1. 6．向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用．平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量＝，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量＝，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P，已知平面内点A，点B，点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为(　C　) A． B． C． D． 【解析】 ∵A，B， ∴＝.∵点B绕点A沿顺时针方向旋转等价于点B绕点A沿逆时针方向旋转， ∴＝＝，∴P. 7．2023·德州一中高一如图1，蜜蜂蜂房是由严格的正六棱柱构成的，它的一端是平整的六边形开口．六边形开口可记为图2中的正六边形ABCDEF，其中O为正六边形ABCDEF的中心，设＝a，＝b，若＝，＝3，则＝(　B　) A．a＋b B．－a＋b C．－a＋b D．a＋b 【解析】 因为＝，＝3，由正六边形的性质可知＝＝，＝＝， 所以＝，＝＋＝＋＝＋＝＋， 所以＝＋＝－＋＋ ＝－＋＋ ＝－＋－ ＝－＝－a＋b. 二、多选题(本大题共2小题，每小题5分，共10分) 8．引入平面向量之间的一种新运算“⊗”如下：对任意的向量m＝，n＝，规定m⊗n＝x1x2－y1y2，则对于任意的向量a，b，c，下列说法中正确的有(　ABD　) A．a⊗b＝b⊗a B．(λa)⊗b＝λ(a⊗b) C．a·(b⊗c)＝(a⊗b)·c D．|a|·|b|≥|a⊗b| 【解析】 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，c＝(x3，y3). 对于选项A，因为a⊗b＝x1x2－y1y2，b⊗a＝x2x1－y2y1， 所以a⊗b＝b⊗a，故正确； 对于选项B，因为⊗b＝x2－y2 ＝λ＝λ，故正确； 对于选项C，a·＝a，·c ＝c， 此时a·＝·c不恒成立，故错误； 对于选项D，因为 ＝＝xx＋yy＋xy＋xy， |a⊗b|2＝xx＋yy－2x1x2y1y2， 所以－|a⊗b|2＝xy＋xy＋2x1x2y1y2＝≥0， 所以－|a⊗b|2≥0，且|a|·|b|≥0， |a⊗b|≥0，所以|a|·|b|≥|a⊗b|，故正确． 9．如图，在平行四边形ABCD中，已知F，E分别是靠近C，D的四等分点，则(　AC　) A．＝ B．＝－＋ C．＝－＋ D．·＝2－2 【解析】 对于A，∵F，E分别是靠近C，D的四等分点， ∴＝，∴A正确； 对于B，∵F是靠近C的四等分点， ∴＝＋＝＋＝＋，∴B错误； 对于C，∵E是靠近D的四等分点， ∴＝＋＝＋＝－＋，∴C正确； 对于D，∵·＝· ＝2－2，∴D错误，故选AC. 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 10．设a＝(－1，1)，b＝(5，－2)，则b在a上的投影向量为____． 11．若向量a＝，b＝，且a与b的夹角为45°，则实数x＝____． 【解析】 由已知得a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉，其中a·b＝2x＋2，|a|＝，|b|＝， 代入得××＝2x＋2，解得x＝或x＝－6， ∵a与b的夹角为45°，∴x＝－6应舍去，∴x＝. 12．2023·宁海中学高一已知△ABC中，＝2，且的最小值为，则·＝__4__． 【解析】 如图，记＝，则＝2，＝＋2t＝＋t.又t＋＝1，则B，D，E三点共线． 当与垂直时，有最小值，所以∠BAC＝90°.所以·＝＝4. 13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，M为AC边的中点，则当∠ABM最大时，tan ∠ABC＝____． 【解析】 以点C为坐标原点，建立直角坐标系，如图，设A，B，∠ABM＝θ， 则M，所以＝，＝， 则cos ∠ABM