(教参)高效作业 7.3 复数的三角表示-【精彩三年】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册课程探究与巩固教师用书word+课件PPT（人教A版，全国Ⅰ卷）

高效作业23[7.3.1*　复数的三角表示式] 学科网（北京）股份有限公司 [A级　教材落实与巩固] 　 　　　　　　　 　　　　　 　　　　 1．复数sin －icos 辐角的主值是(　D　) A． B． C． D． 2．[多选题]下列说法中错误的是(　ABD　) A．已知复数z＝cos ＋isin，则z的辐角的主值为 B．复数z＝2i＋3的虚部为2i C．(＋i)6＝－64 D．复数z＝2i的三角形式为z＝2 3．2023·徐州一中高一复数1－i的辐角的主值是(　A　) A． B． C． D． 4．若复数z＝(a＋i)2的辐角的主值是，则实数a的值是(　B　) A．1 B．－1 C．－ D．－ 【解析】 ∵z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，arg z＝， ∴∴a＝－1. 5．复数z＝－sin ＋icos 的辐角的主值为(　D　) A． B． C． D． 【解析】 z＝－sin ＋icos ＝cos ＋isin ，故复数z的辐角的主值为. 6．2023·杭二高一若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为(　D　) A． B．或 C．2kπ＋(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) 【解析】 因为cos θ＋isin θ＝sin θ＋icos θ， 所以cos θ＝sin θ，即tan θ＝1， 所以θ＝＋kπ(k∈Z). 7．复数sin 4＋icos 4的辐角的主值为(　D　) A．4 B．－4 C．2π－4 D．－4 【解析】 sin 4＋icos 4＝cos ＋isin . 8．已知复数z1＝1＋i，则复数z＝的三角形式为____；辐角的主值为____. 【解析】 将z1＝1＋i代入式中，化简整理得 z＝＝＝1－i， 则z＝， 所以arg z＝. 9．若|z|＝2，arg z＝，则复数z＝__1＋i__. 【解析】 由题意知，z＝2＝1＋i. 10． 复数z＝4的共轭复数的代数形式是__2－2i__． 【解析】 z＝4＝4＝2＋2i，所以z＝2－2i. 11．将复数－2＋2i化成三角形式是__4__. 【解析】 r＝＝4，设辐角为θ，则tan θ＝－，且点(－2，2)在第二象限，得辐角主值为π，故复数－2＋2i的三角形式为4. 12．把下列复数表示成三角形式． (1)－1－i. (2)ai(a<0). (3)－(sin θ－icos θ). 解：(1)r＝，cos θ＝－，复数对应的点在第三象限，所以arg(－1－i)＝. 于是－1－i＝， (2)因为a<0，所以r＝|a|＝－a，复数对应的点在y轴的负半轴上，取θ＝－， 所以ai＝－a. (3)－(sin θ－icos θ)＝(－sin θ＋icos θ) ＝. [B级　基本方法与思维] 13．复数z＝1－cos θ＋isin θ(π<θ<2π) 的辐角的主值为(　C　) A．－ B． C．－ D．－ 【解析】 z＝1－cos θ＋isin θ＝2sin2＋2isin·cos ＝2sin ＝2sin . ∵π<θ<2π，∴<<π， ∴sin >0，－<－<0. ∵0≤arg z<2π， ∴arg z＝－＋2π＝－. 14．[多选题]复数z＝sin θ－icos θ的辐角是(　BD　) A．θ B．θ－ C．－θ D．θ＋ 【解析】 因为z＝sin θ－icos θ＝cos －isin ＝cos ＋isin ，所以复数z的辐角为θ－＋2kπ(k∈Z). 15．2023·深圳实验学校高一若复数z满足＝，arg＝，则z的代数形式是z＝__1＋i__． 【解析】 设＝z0，则|z0|＝，arg z0＝，所以z0＝＝＋i，所以＝＋i，解得z＝1＋i. 16．莱昂哈德·欧拉发现并证明了欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ，从而建立了三角函数和指数函数的关系．若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi＋1＝0，它是数学里令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来：两个超越数(自然对数的底数e，圆周率π)，两个单位(虚数单位i，自然数单位1)以及0.请你根据欧拉公式：eiθ＝cos θ＋isin θ，解决以下问题： (1)试将复数ei写成a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)的形式． (2)试求复数ei＋的模． 解：(1)根据欧拉公式可得ei＝cos ＋isin＝＋i. (2)由题意可知ei＋＝＋i＋＝1＋i， 因此，＝＝. [C级　素养形成与创优] 17．2023·柯桥中学高一已知k是实数，ω是非零复数，且满足arg ω＝，(1＋ω)2＋(1＋i)2＝1＋kω. (1)求ω. (2)设z＝cos θ＋isin θ，θ∈[0，2