(教参)第六章 平面向量及其应用 章末复习课-【精彩三年】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册课程探究与巩固教师用书word+课件PPT（人教A版，全国Ⅰ卷）

第六章　章末复习课(见学生用书P49) 核心题型一　　平面向量的线性运算 向量的线性运算有平面向量及其坐标的加法、减法、数乘运算，以及平面向量的基本定理、共线定理，主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参问题． 例1 (1)在△ABC中，G为△ABC的重心，M为AC上一点，且满足＝3，则＝(　B　) 　　　　 　　　　　　　　　　 A．＋ B．－－ C．＋ D．－－ (2)如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足＝2，＝2，EF与AC交于点G，设＝λ，则λ＝____. 【解析】 (1)因为G为△ABC的重心，所以＝×(＋)＝(＋). 又＝3，所以＝，所以＝＋＝－＋＝－－. (2)设H是BC上除点E外的另一个三等分点，连接FH，连接BD交AC于点O，则BD∥FH.在△CFH中，G是边CH，FH中线的交点，故G是△CFH的重心，结合＝＝可知＝.由于O是AC的中点，故＝，所以λ＝＝. 跟踪训练 (1)[2023·长沙雅礼中学高一]如图所示，在△ABC中，M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于点E，若＝λ＋μ，则λ，μ满足(　B　) A．λ＋μ＝ B．＝2 C．λ－μ＝ D．＝ (2)平面上有A(2，－1)，B(1，4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC并延长至点E，使||＝||，则点E的坐标为____. 【解析】 (1)由＝，得＝， 因为M是AB的中点，所以＝， 由N，E，B三点共线知，存在实数m， 满足＝m＋＝m＋， 由C，E，M三点共线知，存在实数n，满 足＝n＋＝n＋， 所以m＋＝n＋. 又因为，为不共线的非零向量， 所以解得 所以＝＋，即λ＝，μ＝， 所以λ＋μ＝＋＝，故A不正确；＝＝2， 故B正确；D不正确； λ－μ＝－＝，故C不正确． (2)∵＝， ∴－＝(－). ∴＝2－＝(3，－6).∴点C的坐标为(3，－6). 由||＝||，且E在DC的延长线上，∴＝－. 设E(x，y)，则(x－3，y＋6)＝－(4－x，－3－y)， 得解得即E. 核心题型二　　平面向量的数量积 平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的长度等． 例2 (1)[2023·宁海中学高一]已知向量a，b满足＝4，b＝，且⊥.则向量a与向量b的夹角是(　C　) A． B． C． D． (2)[2023·山东省实验中学高一]已知O是△ABC的外心，且满足2＝＋，||＝3||，则在上的投影向量为(　C　) A． B． C． D． 【解析】 (1)因为b＝(1，2)，所以＝＝3. 又因为⊥，所以·＝3a2＋5a·b－2b2＝3×42＋5a·b－2×32＝0， 得a·b＝－6， 所以cos 〈a，b〉＝＝＝－. 因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝. (2)设BC的中点为M，则＋＝2，所以＝， 所以外心O与中点M重合，故△ABC为直角三角形． 设||＝3x，||＝x，则BC＝x，cos B＝， ＝，设e为方向上的单位向量，则e＝， 在上的投影向量为(cos B)e＝＝. 跟踪训练 (1)[2023·丽水中学高一]已知向量a＝，b＝，则sin 〈a，b〉＝(　C　) A．－ B．－ C． D． (2)[2022·全国乙卷]已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则＝(　D　) A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】 (1)∵向量a＝，b＝， ∴cos 〈a，b〉＝＝＝. 又∵〈a，b〉∈，∴sin 〈a，b〉＝＝， (2)因为a－b＝－＝， 所以＝＝5. 核心题型三　正弦定理、余弦定理及应用 主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，判断三角形的形状、求三角形的面积，以及余弦定理、正弦定理的简单综合应用． 例3如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，△ACD为正三角形． (1)在△ABC中，若sin (2A＋C)＝3sin C，求角B的大小． (2)求△BCD面积的最大值． 解：(1)由题意可得sin 2A cos C＋cos 2A sin C＝3sin C， ∴2sin A cos A cos C＋(1－2sin2A)sinC＝3sin C， 整理得sin A(cos A cos C－sin A sin C)＝sin C， ∴sin A cos (A＋C)＝sin C，∴－sin A cos B＝sin C， ∴cos B＝－＝－＝－. 又B∈(0，π)，∴B＝. (2)在△ABC中，设∠ABC＝α，∠ACB＝β， 由余弦定理得AC2＝12＋22－2×1×2cos α＝5－4cos α. ∵△ACD为正三角形， ∴CD2＝AC2＝5－4cos α