(教参)单元素养检测卷(六) 平面向量及其应用-【精彩三年】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册课程探究与巩固教师用书word+课件PPT（人教A版，全国Ⅰ卷）

单元素养检测卷(六) [时间：120分钟　满分：150分] 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则||＝(　A　) A．5 B．4 C．3 D．2 2．已知向量a＝，b＝，若a∥b，则锐角α为(　A　) A．30° B．60° C．45° D．75° 3．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2， ＝＋λ，则λ等于(　A　) A． B． C．－ D．－ 【解析】 在△ABC中，已知D是AB边上一点， 因为＝2，＝＋λ， 所以＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋，所以λ＝. 4．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是(　B　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【解析】 因为sin A＝sin C，且A，C是三角形内角，所以A＝C或A＋C＝π(舍去)，所以△ABC是等腰三角形． 5．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°，则cos B＝(　A　) A．± B． C．－ D． 【解析】 因为＝，所以＝， 解得sin B＝.因为b>a，所以B>A，故B有两解，所以cos B＝±. 6．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上，且满足 AP＝2PM，则·(＋)＝(　A　) A．－ B．－ C． D． 【解析】 由题意可知点P是△ABC的重心， 所以＋＋＝0，所以·(＋) ＝－2＝－＝－. 7．如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距15 n mile的C处．现甲船以35 n mile/h的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25 n mile的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为(　B　) A． h B．1 h C． h D．2 h 【解析】 在△OBC中，由余弦定理，得CB2＝CO2＋OB2－2CO·OB cos 120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB＝35 n mile，＝1 h，因此甲船到达B处需要的时间为1 h． 8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos A＝，a＝，则＝(　A　) A．2 B． C． D． 【解析】 由cos A＝，得sin A＝，由正弦定理，可知＝＝＝＝2，所以＝2. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列命题中，不正确的是(　ABC　) A．若e为单位向量，且a∥e，则a＝|a|e B．若a∥b且b∥c，则a∥c C．a·a·a＝|a|3 D．若平面内有四点A，B，C，D，则必有＋＝＋ 【解析】 若e为单位向量，且a∥e，则a＝±|a|e，所以A错误；若b＝0，则a∥b且b∥c，但a∥c不一定成立，所以B错误；因为a·a·a＝|a|2a，所以C错误；因为＋＝＋＋＝＋(＋)＝＋，所以D正确． 10．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O， 且＝2，点F 是BD上靠近点D的四等分点，则(　AC　) A．＝－ B．＝＋ C．＝－ D．＝＋ 【解析】 因为＝2，点F 是BD上靠近点D的四等分点，所以＝，＝，所以＝＋＝＋＝－.因为＝＋，＝－，所以＝(＋)－(－)＝－. 11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，且p∥q，则下面结论正确的是(　AB　) A．C＝ B．a2＋b2－c2＝ab C．a2＋b2－c2＝2ab D．C＝ 【解析】 若p∥q，则(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，所以a2＋b2－c2＝ab，所以＝.由余弦定理知，cos C＝.又因为0<C<π，所以C＝. 12．定义两个平面向量的一种新运算：a□b＝|a||b|·sin 〈a，b〉，其中〈a，b〉表示a，b的夹角，则对于两个非零向量a，b，下列结论一定成立的是(　ABD　) A．a□b＝b□a B．(a□b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2 C．λ(a□b)＝(λa)□b D．若a□b＝0，则a与b平行 【解析】 A显然成立；B中，(a□b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2·sin2〈a，b〉＋|a|2|b|2cos2〈a，b〉＝|a|2|b|2，故B成立；C中，λ(a□b)＝λ|a||b|sin〈a，b〉，(λa)□b＝|λa||b|sin 〈λa，b〉，显然当λ<0时不成立；D中，由a□b＝0，得sin 〈a，b〉＝0，即〈a，b〉＝0°或180°，即两向量平行，故D成立． 三、填空题：本题共4