(教参)10.2 事件的相互独立性-【精彩三年】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册课程探究与巩固教师用书word+课件PPT（人教A版，全国Ⅰ卷）

10.2　事件的相互独立性 1．在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题． (见学生用书P156)　　　　　　　 (请在括号中打“√”或“×”) 事件的相互独立性 (1)不可能事件与任何一个事件都相互独立．(　√　) (2)必然事件与任何一个事件都相互独立．(　√　) (3)“P＝P·P”是“事件A，B相互独立”的充要条件．(　√　) (4)若两个事件相互独立，则它们的对立事件也是相互独立的．(　√　) (见学生用书P156)　　　　　　　 　　判断下列各对事件是否为相互独立事件． (1)甲组有3名男生，2名女生；乙组有2名男生，3名女生．现从甲、乙两组各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”． (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”． (3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”． 解：(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件． (2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率是，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”的概率是；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件． (3)记A＝“出现偶数点”，B＝“出现3点或6点”，则A＝{2，4，6}，B＝{3，6}，AB＝{6}， 所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝. 所以P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立． 活学活用 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　B　) A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 【解析】 事件甲发生的概率P(甲)＝，事件乙发生的概率P(乙)＝，事件丙发生的概率P(丙)＝＝，事件丁发生的概率P(丁)＝＝.事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为＝，P(甲丁)＝P(甲)·P(丁)，故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为＝，P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误． [题后感悟] 判断事件是否相互独立的方法 (1)定义法：事件A，B相互独立⇔P(AB)＝P(A)P(B).(2)直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件发生是否相互影响． 　　根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立． (1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率． (2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率． 解：记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A与B，A与，与B，与都是相互独立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6. (1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”， 则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3. (2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”， 则D＝B，所以P(D)＝P(B)＝P()P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3. 迁移探究 本例中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少？ 解：记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”， 事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件，所以P(E)＝1－P( )＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8. 活学活用 甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和，两人能否破译密码相互独立，求两人破译时，以下事件发生的概率： (1)两人都破译出密码的概率． (2)恰有一人破译出密码的概率． (3)至多有一人破译出密码的概率． 解：记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出密码”． (1)两个人都破译出密码的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝. (2)恰有一人破译出密码分为两类：甲破译出乙破译不出，乙破译出甲破译不出，即A＋B，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝. (3)至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码， ∴其概率为1－P(AB)＝1－＝. [题后感悟] (1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤：①首先确定各事件之间是相互独立的．②确定这些事件可以同时发生．③求出每个事件的概率，再求积．(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生． 　　计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都合格者，则计算机考试合格，并授予合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中合格的概率依次为，，，在实际操作考试中合格的概率依次为，，， 所有考试是否合格相互之间没有影响． (1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？ (2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率． 解：(1)记“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C， 则P＝×＝，P＝×＝，P＝×＝. 因为P>P>P，所以丙获得合格证书的可能性最大． (2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，由题易知三人是否获得合格证书相互独立，则 P＝P＋P＋P＝××＋××＋××＝. 活学活用 三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，且它们是否正常工作相互独立．在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率是多少？ 解：记“T1正常工作”为事件A，“T2正常工作”为事件B，“T3正常工作”为事件C，则P＝，P＝P＝， 电路不发生故障，即T1正常工作且T2，T3至少有一个正常工作， 因为T2，T3至少有一个正常工作的概率P1＝1－×＝， 所以整个电路不发生故障的概率为P＝P·P1＝×＝. [题后感悟] 求较复杂事件的概率的一般步骤 (1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示．(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式．(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算．(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率． 当 堂 自 评 　　　　　　 　　　　　　　　　　 1．甲、乙两名射击手同时向一目标射击，设事件A＝“甲击中目标”，事件B＝“乙击中目标”，则事件A与事件B(　A　) A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立 C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥 【解析】 对同一目标射击，甲、乙两射击手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射击手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件． 2．掷一枚质地均匀的硬币，记事件A＝“出现正面”，事件B＝“出现反面”，则(　C　) A．A与B相互独立 B．P(AB)＝P(A)P(B) C．A与不相互独立 D．P(AB)＝ 【解析】 由题得P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝0，故A与不相互独立，A，B，D不正确． 3．在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为(　B　) A．0.28 B．0.12 C．0.42 D．0.16 【解析】 甲未通过的概率为0.3，则甲未通过而乙通过的概率为0.3×0.4＝0.12. 4． 某校高二(2)班甲、乙两同学进行投篮比赛，他们进球的概率分别是和.两人各自投篮相互独立，现甲、乙各投篮一次，恰有一人投进球的概率是(　D　) A． B． C． D． 【解析】 “恰有一人投进球”可分解为“甲进乙不进”与“乙进甲不进”的和事件，故所求概率为×＋×＝. 5．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为，，，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为____． 【解析】 加工出来的零件的正品率是××＝，因此加工出来的零件的次品率为1－＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$