(教参)10.1 随机事件与概率-【精彩三年】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册课程探究与巩固教师用书word+课件PPT（人教A版，全国Ⅰ卷）

10．1　随机事件与概率 10．1.1　有限样本空间与随机事件 1．理解随机试验、样本点与样本空间，会写试验的样本空间.2.了解随机事件的有关概念，掌握随机事件的表示方法及含义． (见学生用书P143)　　　　　　　 (请在括号中打“√”或“×”) 随机试验 (1)对于随机试验，当在同样的条件下重复进行试验时，每次试验的所有可能的结果是不知道的．(　×　) 样本空间 (2)连续抛掷2次硬币，该试验的样本空间Ω＝{正正，反反，正反}．(　×　) (3)随机试验的样本点一定是有限个．(　×　) (4)我们把必然事件和不可能事件看作随机事件的极端情况，每个事件都看作样本空间Ω的子集．(　√　) 随机事件 (5)“一个盒中装有4个白球和5个黑球，从中任意取出1个球，该球是白球或黑球”，此事件是必然事件．(　√　) (6)“某人射击一次，中靶”是随机事件．(　√　) (7)“某人过红绿灯路口时遇到红灯”是随机事件．(　√　) (8)只有当事件A中的样本点都发生了，事件A才发生．(　×　) (见学生用书P144)　　　　　　　 　　写出下列试验的样本空间． (1)同时抛掷三枚骰子，记录三枚骰子出现的点数之和． (2)用红、黄、蓝三种颜色给3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，观察涂色的情况． 解：(1)该试验的样本空间Ω1＝{3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18}． (2)如图， 用1，2，3分别表示红色、黄色与蓝色三种颜色，则此试验的样本空间Ω2＝{(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)}． 活学活用 在一个不透明的口袋中装有大小、形状相同但标号不同的5张卡片，其中3张红色分别标号为1，2，3，2张白色分别标号为4，5. (1)从中一次摸出两张卡片，此试验共有多少个样本点？ (2)从中先后各取一张卡片(每次取后立即放回)，此试验共有多少个样本点？ 解：(1)“从中一次摸出两张卡片”，无顺序，故这个试验中等可能出现的结果有10种，分别为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)(其中(1，2)表示摸到1号和2号卡片)，故共有10个样本点． (2)“从中先后各取一张卡片(每次取后立即放回)”，有顺序，故这个试验中等可能出现的结果有25种，即： 故共有25个样本点． [题后感悟] 确定样本空间的方法 (1)列举法：当样本点个数较少时，可直接列举出所有样本点． (2)树状图法：当样本点个数较多且相对复杂时，可采用树状图法，树状图法便于分析事件间的关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段． 提醒：在书写样本空间时，一般按顺序书写，做到不重不漏． 　　如图，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效，把这个电路是否为通路看成一个随机现象，观察这个电路中各个元件是否正常． (1)写出试验的样本空间． (2)用集合表示下列事件： M＝“恰好1个元件正常”； N＝“电路是通路”； T＝“电路为断路”． 解：(1)分别用x1，x2，x3表示元件A，B，C的可能状态，则这个电路的工作状态可用(x1，x2，x3)表示，进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示元件的“失效”状态，则样本空间为Ω＝{(0，0，0)，(1，1，1)，(1，0，0)，(1，1，0)，(0，1，0)，(0，1，1)，(1，0，1)，(0，0，1)}．也可借助树状图列出试验的所有可能结果． (2)M＝“恰好1个元件正常”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，且x1，x2，x3中恰好有1个1，所以M＝{(0，1，0)，(0，0，1)，(1，0，0)}． N＝“电路是通路”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，且x1，x2，x3中至少有1个为1， 所以N＝{(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)}． T＝“电路为断路”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，且x1，x2，x3都为0，所以T＝{(0，0，0)}． 活学活用 试验E：甲、乙两人玩出拳游戏(石头、剪刀、布)，观察甲、乙出拳的情况． 设事件A表示随机事件“甲、乙平局”； 设事件B表示随机事件“甲赢得游戏”； 设事件C表示随机事件“乙不输”． 试用集合表示事件A，B，C. 解：设石头为w1，剪刀为w2，布为w3，用(i，j)表示游戏的结果，其中i表示甲出的拳，j表示乙出的拳， 则样本空间E＝{(w1，w1)，(w1，w2)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w2，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，(w3，w2)，(w3，w3)}． 因为事件A表示随机事件“甲、乙平局”， 则满足要求的样本点共有3个：(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)， 所以事件A＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)}． 事件B表示“甲赢得游戏”， 则满足要求的样本点共有3个：(w1，w2)(w2，w3)，(w3，w1)， 所以事件B＝{(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)}． 因为事件C表示“乙不输”， 则满足要求的样本点共有6个： (w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w2，w1)，(w1，w3)，(w3，w2)， ∴事件C＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w3，w2)}． [题后感悟] (1)判断随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间，①必须明确事件发生的条件；②根据题意，按一定的次序列出所有样本点．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．(2)试验中当试验的结果不唯一时，一定要将各种可能都考虑到，尤其是有顺序和无顺序的情况最易出错． 　　下列随机事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？ (1)某人购买一注福利彩票，中奖500万元． (2)三角形的两边之和大于第三边． (3)没有空气和水，人类可以生存下去． (4)从标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签． (5)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现． 解：(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件． (2)所有三角形的两边之和都大于第三边，所以是必然事件． (3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件． (4)任意抽取，可能得到1，2，3，4号标签中的任意一张，所以是随机事件． (5)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件． 活学活用 有两个事件，事件A＝“抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数为偶数”；事件B＝“367人中至少有2人生日相同”．下列说法正确的是(　C　) A．事件A，B都是随机事件 B．事件A，B都是必然事件 C．事件A是随机事件，事件B是必然事件 D．事件A是必然事件，事件B是随机事件 【解析】 对于事件A，抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数可能是奇数，也可能是偶数，则事件A为随机事件； 对于事件B，一年有365天或366天，故367人中至少有2人生日相同，事件B为必然事件． [题后感悟] 判断事件的随机性或确定性，主要依据定义进行．在一定条件下确定不发生的就是不可能事件，确定发生的就是必然事件，可能发生也可能不发生的就是随机事件．但在一定条件下，事件发生与否是对这个条件而言的，对于一个事件，一定要先叙述清楚条件，再做判断，否则容易导致不同的理解． 当 堂 自 评 　　　　　　 　　　　　　　　　　 1．下列事件是必然事件的是(　C　) A．从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签 B．函数y＝logax(a>0且a≠1)为增函数 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．随机选取一个实数x，得2x<0 【解析】 A是随机事件，5张标签都可能被取到；B是随机事件，当a>1时，函数y＝logax为增函数，当0<a<1时，函数y＝logax为减函数；C是必然事件；D是不可能事件，根据指数函数y＝2x的图象可得，对任意实数x，2x>0. 2．一个家庭有两个小孩，“关于孩子的性别”这一随机事件的样本空间Ω是(　C　) A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)} B．{(男，女)，(女，男)} C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)} D．{(男，男)，(女，女)} 【解析】 两个小孩有大小之分，所以(男，女)与(女，男)是不同的样本点，样本空间Ω应有4个样本点． 3．抛掷两枚骰子，向上点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是(　B　) A．一枚是3点，一枚是1点 B．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点 C．两枚都是4点 D．两枚都是2点 【解析】 抛掷两枚骰子，向上点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是“一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点”. 4．抛掷三枚硬币，试验的样本点用(x，y，z)表示，集合M表示“既有正面朝上，也有反面朝上”，则M＝__{(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)}__． 5．从A，B，C，D，E，F 6名学生中选出4人参加数学竞赛． (1)写出这个试验的样本空间． (2)求这个试验的样本点总数． (3)写出事件“A没被选中”所包含的样本点． 解：(1)Ω＝{(A，B，C，D)，(A，B，C，E)，(A，B，C，F)，(A，B，D，E)，(A，B，D，F)，(A，B，E，F)，(A，C，D，E)，(A，C，D，F)，(A，C，E，F)，(A，D，E，F)，(B，C，D，E)，(B，C，D，F)，(B，C，E，F)，(B，D，E，F)，(C，D，E，F)}． (2)由(1)可得，这个试验的样本点总数为15. (3)“A没被选中”包含下列5个样本点：(B，C，D，E)，(B，C，D，F)，(B，C，E，F)，(B，D，E，F)，(C，D，E，F). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.1.2　事件的关系和运算 1．理解事件的关系和运算.2.通过事件之间的运算，理解互斥事件和对立事件的概念． (见学生用书P146)　　　　　　　 (请在括号中打“√”或“×”) 事件的关系和运算 (1)若A，B表示随机事件，则A∩B与A∪B也表示随机事件．(　×　) (2)事件A发生，事件B与事件C不发生，则可表示为A .(　√　) (3)事件A，B，C均不发生可表示为 .(　√　) (4)事件A，B，C至少有两个发生可表示为A∪B∪C.(　×　) 互斥事件与对立事件 (5)若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件．(　×　) (6)若事件A与事件B互为对立事件，则事件A与事件B一定为互斥事件．(　√　) (7)若事件A与B是互斥事件，则在一次试验中事件A和B至少有一个发生．(　×　) (见学生用书P147)　　　　　　　 　　 在掷骰子试验中，可以得到以下事件： A：{出现1点}；B：{出现2点}；C：{出现3点}；D：{出现4点}；E：{出现5点}；F：{出现6点}；G：{出现的点数不大于1}；H：{出现的点数小于5}；I：{出现奇数点}；J：{出现偶数点}． 请判断下列两个事件的关系： (1)B__⊆__H；(2)D__⊆__J；(3)E__⊆__I； (4)A__＝__G. 【解析】 因为出现的点数小于5包含出现1点、出现2点、出现3点、出现4点四种情况，所以事件B发生时，事件H必然发生，故B⊆H；同理D⊆J，E⊆I；又易知事件A与事件G相等，即A＝G. 活学活用 掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：A为“3次正面向上”，B为“只有1次正面向上”，C为“至少有1次正面向上”，试判断事件A，B，C之间的包含关系． 解：当事件A发生时，事件C一定发生，当事件B发生时，事件C一定发生，因此有A⊆C，B⊆C；当事件A发生时，事件B一定不发生，当事件B发生时，事件A一定不发生，因此事件A与事件B之间不存在包含关系．综上，事件A，B，C之间的包含关系为A⊆C，B⊆C. [题后感悟] 判断事件之间的关系，主要是判断表示事件的两集合间的包含关系． 　　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球、2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球、1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}． (1)事件D与A，B是什么样的运算关系？ (2)事件C与A的交事件是什么事件？ 解：(1)对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D＝A∪B. (2)对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A. 活学活用 从某大学数学系图书室中任选一本书．设A＝“数学书”，B＝“中文版的书”，C＝“2 000年后出版的书”．问： (1)A∩B∩表示什么事件？ (2)在什么条件下有A∩B∩C＝A? (3)⊆B表示什么意思？ (4)如果＝B，那么是否意味着图书室中所有的数学书都不是中文版的？ 解：(1)A∩B∩＝“2000年或2000年前出版的中文版的数学书”． (2)在“图书室中所有数学书都是2000年后出版的且为中文版”的条件下才有A∩B∩C＝A. (3)⊆B表示“2000年或2000年前出版的书全是中文版的”． (4)是．＝B意味着图书室中所有非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书．同时＝B又可等价成＝A，因而也可解释为图书室中所有数学书都不是中文版的，而且所有外文版的书都是数学书． [题后感悟] 事件运算应注意的两个问题：(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考察同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理． 　　将《红楼梦》《水浒传》《西游记》《三国演义》四本书随机地分发给甲、乙、丙三人，每人至少分得一本，则下列两个事件为互斥事件的是(　C　) A．事件“甲分得一本”与事件“丙分得两本” B．事件“甲分得《红楼梦》”与事件“乙分得《西游记》” C．事件“甲分得两本”与事件“乙分得两本” D．事件“乙分得《三国演义》”与事件“丙分得《水浒传》” 【解析】 将《红楼梦》《水浒传》《西游记》《三国演义》四本书随机地分发给甲、乙、丙三人，每人至少分得一本，对于A，事件“甲分得一本”与事件“丙分得两本”能同时发生，不为互斥事件，故A错误； 对于B，事件“甲分得《红楼梦》”与事件“乙分得《西游记》”能同时发生，不为互斥事件，故B错误； 对于C，事件“甲分得两本”与事件“乙分得两本”不能同时发生，是互斥事件，故C正确； 对于D，事件“乙分得《三国演义》”与事件“丙分得《水浒传》”能同时发生，不为互斥事件，故D错误． 活学活用 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”，判断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件． (1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E. 解：(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包含“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件． (2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件． (3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件． (4)事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”，也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件． (5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件． [题后感悟] 判断事件间的互斥与对立关系，用集合的观点，看它们能否同时发生，它们的并集是否是全集． 当 堂 自 评 　　　　　　 　　　　　　　　　　 1．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(　C　) A．A⊆B B．A＝B C．A∪B表示向上的点数是1或2或3 D．A∩B表示向上的点数是1或2或3 【解析】 由题意，可得A＝{1，2}，B＝{2，3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，所以A∪B表示向上的点数为1或2或3. 2．从装有10个红球和10个黑球的口袋中任取2个球，下列各组事件中，互斥而不对立的两个事件是(　A　) A．“恰有1个是黑球”和“都是红球” B．“至少有1个黑球”和“至少有1个红球” C．“至多有1个黑球”和“都是红球” D．“至少有1个黑球”和“都是红球” 【解析】 “恰有1个是黑球”，则另外1个必是红球，与“都是红球”是互斥事件，而任取2个球还有可能都是黑球，故这两个事件不是对立事件；“至少有1个黑球”可能为1个黑球、1个红球，“至少有1个红球”可能为1个红球、1个黑球，故这两个事件可能同时发生，所以不是互斥事件；“至多有1个黑球”为都是红球或1个黑球、1个红球，与“都是红球”不是互斥事件；“至少有1个黑球”为都是黑球或1个黑球、1个红球，与“都是红球”是对立事件． 3．设A，B为互斥事件，，分别为事件A，B的对立事件，则事件，(　C　) A．一定互斥 B．一定不互斥 C．不一定互斥 D．与A＋B互斥 【解析】 当A，B互斥而不对立时，，一定不互斥；当事件A，B互斥且对立时，，互斥且对立． 4．从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数”为事件B，则A＋B和AB包含的样本点数分别为(　C　) A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1 【解析】 试验E的样本空间为Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}． 其中事件A中所含的样本点为(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共4个； 事件B中所含的样本点为(1，3)，(2，4)，共2个． 所以事件A＋B中所含的样本点为(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共5个； 事件AB中所含的样本点为(2，4)，共1个． 5．判断下列每组事件是否是互斥事件，如果是，再判断它们是否是对立事件． 已知被抽检的一批产品中有10件正品，2件次品，现随机抽取3件． (1)“恰好有1件次品”与“恰好有2件次品”. (2)“至少有1件次品”和“全是次品”． (3)“至少有1件正品”和“至少有1件次品”． 解：(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”不可能同时发生，因此它们是互斥事件．又因为它们的和不是必然事件，所以它们不是对立事件． (2)“至少有1件次品”与“全是次品”可能同时发生，故它们不是互斥事件． (3)“至少有1件正品”和“至少有1件次品”可能同时发生，故它们不是互斥事件． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.1.3　古典概型 1．理解古典概型的概念及特点.2.掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题． (见学生用书P149)　　　　　　　 (请在括号中打“√”或“×”) 古典概型 (1)古典概型中每个事件发生的可能性相等．(　×　) (2)任何一个事件都是一个样本点．(　×　) (3)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等．(　√　) (4)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的．(　√　) (5)若一个试验的样本空间中的样本点个数为有限个，则该试验是古典概型．(　×　) (见学生用书P150)　　　　　　　 　　下列概率模型是古典概型吗？为什么？ (1)从区间[1，10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率． (2)向上抛掷一枚不均匀的硬币，求正面朝上的概率． (3)从1，2，3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率． 解：(1)不是古典概型，因为区间[1，10]中有无限多个实数，取出的实数有无限多种结果，与古典概型定义中“样本空间的样本点只有有限个”矛盾． (2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”发生的可能性不相等，与古典概型定义中“每一个样本点发生的可能性相同”矛盾． (3)是古典概型，因为在试验中样本点是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等． [题后感悟] 判断某个概率模型是否为古典概型，要看其是否具备古典概型的两个特征，即有限性和等可能性．如果具备，则是古典概型；若不具备，则不是古典概型． 　　先后抛掷两枚质地均匀的骰子． (1)求点数之和为7的概率． (2)求掷出两个4点的概率． (3)求点数之和能被3整除的概率． 解：如图所示，从图中容易看出，共36个样本点，且每个样本点出现的可能性相等． (1)记“点数之和为7”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的样本点共有6个，分别为(6，1)，(5，2)，(4，3)，(3，4)，(2，5)，(1，6)， 故P(A)＝＝. (2)记“掷出两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的样本点只有1个，即(4，4)， 故P(B)＝. (3)记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的样本点共12个，分别为(1，2)，(2，1)，(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)，(3，6)，(6，3)，(4，5)，(5，4)，(6，6)，故P(C)＝＝. 活学活用 某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游． (1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率． (2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率． 解：(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共15个样本点． 所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3个， 则所求事件的概率为P＝＝. (2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，样本空间Ω＝{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)}，共9个样本点． 包括A1但不包括B1的事件所包含的样本点有(A1，B2)，(A1，B3)，共2个， 则所求事件的概率为P＝. [题后感悟] 在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数，故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观、更方便． 　　一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4. (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率． (2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m＋2的概率． 解：(1)从袋中随机取两个球的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}，共6个样本点．事件“从袋中取出的两个球的编号之和不大于4”＝{(1，2)，(1，3)}，共2个样本点，因此所求事件的概率为P＝＝. (2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，则(m，n)的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，共16个样本点． 又事件“满足条件n<m＋2”＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，共13个样本点． 所以，满足条件n<m＋2的概率为. 活学活用 口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球，求： (1)从中任意摸出两个小球，摸出的是红球和白球的概率． (2)从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，两次摸出的球是一红一白的概率． (3)若从袋中依次无放回地摸出两球，求第一次摸出红球，第二次摸出白球的概率． (4)若从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，求第一次摸出红球，第二次摸出白球的概率． 解：(1)无放回地摸球，任意摸出两个小球的样本空间为{(红，白)，(红，黄)，(白，黄)}，所以摸出的是红球和白球的概率为. (2)有放回地摸球．样本空间为{(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(黄，红)，(黄，白)，(黄，黄)}，而事件“摸出一红一白”包括(红，白)，(白，红)2个样本点，所以两次摸出的球是一红一白的概率为. (3)无放回地摸球．样本空间为{(红，白)，(红，黄)，(白，红)，(白，黄)，(黄，红)，(黄，白)}，所以先摸出红球，再摸出白球的概率是. (4)有放回地摸球．样本空间为{(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(黄，红)，(黄，白)，(黄，黄)}，第一次摸出红球，第二次摸出白球，只包含(红，白)1个样本点，故所求概率为. [题后感悟] 解决有序和无序问题应注意两点：(1)关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误．(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b)，(b，a1)不是同一个样本点．解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的． 当 堂 自 评 　　　　　　 　　　　　　　　　　 1．下列选项中是古典概型的是(　C　) A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点 B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点 C．在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，求甲被选中的概率 D．抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点 【解析】 A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是古典概型；B项中的样本点的个数是无限的，故B不是古典概型；C项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是古典概型． 2．在50瓶牛奶中，有5瓶已经过了保质期，从中任取一瓶，取到已经过保质期的牛奶的概率是(　C　) A．0.02 B．0.05 C．0.1 D．0.9 【解析】 由题意知，在50瓶牛奶中任取1瓶，有50个样本点，取到已过保质期的牛奶包括5个样本点，根据古典概型概率计算公式求得概率是＝0.1. 3．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是(　C　) A． B． C． D． 【解析】 样本空间Ω＝{(甲，乙，丙)、(甲，丙，乙)、(乙，甲，丙)、(乙，丙，甲)、(丙，甲，乙)、(丙，乙，甲)}，共6个样本点．甲站在中间的样本点包括(乙，甲，丙)、(丙，甲，乙)，共2个，所以甲站在中间的概率P＝＝. 4．从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，则其和为5的概率是__0.2__． 【解析】 两数之和等于5有两种情况(1，4)和(2，3)，总的样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个，且每个样本点出现的可能性相等，所以P＝＝0.2. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10．1.4　概率的基本性质 1．理解概率的基本性质.2.掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题． (见学生用书P153)　　　　　　　 (请在括号中打“√”或“×”) 性质3 (1)若事件A，B，C两两互斥，则P＋P＋P＝1.(　×　) (2)如果事件A与事件B互斥，那么P＋P≤1.(　√　) 性质4 (3)若事件A，B满足P＋P＝1，则A，B是对立事件．(　×　) 性质6 (4)若A，B为两个事件，则P＝P＋P.(　×　) (见学生用书P153)　　　　　　　 　　(1)已知盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是____． (2)从一副扑克牌(52张，无大小王)中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则P(A∪B)＝____． 【解析】 (1)从中取出2粒棋子，“都是黑棋子”记为事件A，“都是白棋子”记为事件B，则A，B为互斥事件，所求概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝. (2)一副扑克牌(52张，无大小王)中有红桃K1张，黑桃13张． 事件A为“抽得红桃K”，所以P(A)＝， 事件B为“抽得黑桃”，所以P(B)＝＝. 事件A，B为互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝. 活学活用 在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表： 年最高水位/m [8，10) [10，12) [12，14) [14，16) [16，18] 概率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08 计算在同一时期内，这条河流这一处的年最高水位(单位：m)在下列范围内的概率： (1)[10，16)；(2)[8，12)；(3)[14，18]. 解：记该河流这一处的年最高水位(单位：m)在[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18]内分别为事件A，B，C，D，E，且彼此互斥． (1)P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82. (2)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38. (3)P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24. [题后感悟] 运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤 (1)确定各事件彼此互斥． (2)求各事件分别发生的概率，再求其和． 　　甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求： (1)甲获胜的概率． (2)甲不输的概率． 解：(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率P＝1－－＝，即甲获胜的概率是. (2)设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝＋＝. 即甲不输的概率是. 活学活用 在数学考试中，小明的成绩不低于90分的概率是0.18，在80～89分(包括89分)的概率是0.51，在70～79分(包括79分)的概率是0.15，在60～69分(包括69分)的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算： (1)小明在数学考试中成绩不低于70分的概率． (2)小明数学考试及格(60分及以上)的概率． 解：小明的成绩不低于70分可以看作互斥事件“在70～79分”“在80～89分”“不低于90分”的并事件．小明数学考试及格可以看作互斥事件“在60～69分”“在70～79分”“在80～89分”“不低于90分”的并事件，又可以看作“不及格(在60分以下)”这一事件的对立事件． 分别记小明的成绩“不低于90分”“在80～89分”“在70～79分”“在60～69分”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥． (1)小明的成绩不低于70分的概率是P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.18＋0.51＋0.15＝0.84. (2)小明数学考试不及格的概率是0.07，所以小明数学考试及格的概率是1－0.07＝0.93. [题后感悟] 当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时，可间接地先计算出其对立事件的个数，求得对立事件的概率，然后利用对立事件的概率加法公式P(A)＋P(B)＝1，求出符合条件的事件的概率． 　　袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是. (1)试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率． (2)从中任取一球，求得到的不是红球也不是绿球的概率． 解：(1)从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A，B，C，D，它们彼此互斥，则P(A)＝，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝， P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝. 则联立 解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝， 故得到黑球、黄球、绿球的概率分别为，，. (2)事件“得到红球或绿球”可表示为事件A∪D，由(1)及互斥事件的概率加法公式得P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝＋＝， 故得到的不是红球也不是绿球的概率P＝1－P(A∪D)＝1－＝. 活学活用 某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示． 现从中随机抽取一名队员，求： (1)该队员只属于一支球队的概率． (2)该队员最多属于两支球队的概率． 解：分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A，B，C.由题图知3支球队共有球员20名． 则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝. (1)令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件D. 则D＝A＋B＋C，因为事件A，B，C两两互斥，所以P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝. (2)令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件E，则为“抽取一名队员，该队员属于3支球队”，所以P(E)＝1－P()＝1－＝. [题后感悟] 求某些较复杂事件的概率，通常有两种方法：一是将所求事件的概率转化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件的概率，再用公式求此事件的概率．这两种方法可使复杂事件概率的计算得到简化． 当 堂 自 评 　　　　　　 　　　　　　　　　　 1．一袋子中有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中45个红球，从中摸出1个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为(　B　) A．0.35 B．0.32 C．0.55 D．0.68 【解析】 因为一袋子中有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中45个红球，从中摸出1个球，摸出白球的概率为0.23，所以摸出黑球的概率P＝1－0.23－＝0.32. 2．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　B　) A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【解析】 设事件A为“只用现金支付”，事件B为“既用现金支付也用非现金支付”，事件C为“不用现金支付”，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，所以P(C)＝1－P(A)－P(B)＝0.4. 3．某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为，响第二声时被接的概率为，响第三声时被接的概率为，响第四声时被接的概率为，则电话在响前四声内被接的概率为(　B　) A． B． C． D． 【解析】 设事件A＝“电话响第一声时被接”，事件B＝“电话响第二声时被接”，事件C＝“电话响第三声时被接”，事件D＝“电话响第四声时被接”，则A，B，C，D两两互斥，从而P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝＋＋＋＝. 4．某商店月收入(单位：元)在下列范围内的概率如下表所示： 月收入/元 [1 000， 1 500) [1 500， 2 000) [2 000， 2 500) [2 500， 3 000) 概率 0.12 a b 0.14 已知月收入在[1 000，3 000)内的概率为0.67，则月收入在[1 500，3 000)内的概率为__0.55__. 【解析】 记这个商店月收入在[1 000，1 500)，[1 500，2 000)，[2 000，2 500)，[2 500，3 000)内的事件分别为A，B，C，D.因为事件A，B，C，D两两互斥，且P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.67，所以P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.67－P(A)＝0.55. 5．某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示： 人数 0 1 2 3 4 大于等于5 概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04 (1)求至多派出2名医生的概率． (2)求至少派出2名医生的概率． 解：设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名及5名以上医生”为事件F， 事件A，B，C，D，E，F 彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04. (1)“至多派出2名医生”的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)方法一：“至少派出2名医生”的概率为P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74. 方法二：“至少派出2名医生”的概率为1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 素养微专题　古典概型的综合应用 (见学生用书P151)　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　 对于涉及方程、函数的概率问题，解题的关键是求出所求事件包含的样本点的个数．解决此类问题只需表示出方程(组)的解，利用函数知识找出满足条件的情况，从而确定样本点的个数，再利用古典概型的概率计算． 　　已知A＝{1，2，3}，B＝{x∈R|x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，则A∩B＝B的概率是(　C　) A． B． C． D．1 【解析】 因为a∈A，b∈A，所以可用列表法得到样本点的总个数为9(如下表所示). 因为A∩B＝B，所以B可能为∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}． 当B＝∅时，a2－4b＜0，满足条件的a，b为a＝1，b＝1，2，3；a＝2，b＝2，3；a＝3，b＝3. 当B＝{1}时，满足条件的a，b为a＝2，b＝1. 当B＝{2}，{3}时，没有满足条件的a，b. 当B＝{1，2}时，满足条件的a，b为a＝3，b＝2. 当B＝{2，3}，{1，3}时，没有满足条件的a，b. 综上，符合条件的结果有8种． 故所求概率为. 　　将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，并分别记为x，y. (1)若记“x＋y＝5”为事件A，求事件A发生的概率． (2)若记“x2＋y2≤10”为事件B，求事件B发生的概率． 解：将一枚质地均匀的骰子抛掷1次，它的点数有1，2，3，4，5，6这6种结果，抛掷第2次，它的点数有1，2，3，4，5，6这6种结果， 因为骰子共抛掷2次，所以共有6×6＝36(种)结果． (1)事件A发生的样本点有(1，4)，(2，3)，(4，1)，(3，2)共4种结果， 所以事件A发生的概率为P(A)＝＝. (2)事件B发生的样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)共6种结果，所以事件B发生的概率为P(B)＝＝. 概率问题常常与统计问题结合在一起考查．在此类问题中，概率与频率的区别并不是十分明显，通常直接用题目中的频率代替概率进行计算．解决与古典概型交汇的问题时，应明确相关事件，列举样本点，然后利用古典概型的概率计算公式求解． 　　已知某校甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数分别为36，24，12.现采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取6人，进行睡眠质量的调查． (1)应从甲、乙、丙三个兴趣小组的学生中分别抽取多少人？ (2)设抽出的6人分别用A，B，C，D，E，F表示，现从6人中随机抽取2人做进一步的身体检查． ①试用所给字母列出所有可能的抽取结果． ②设K为事件“抽取的2人来自同一兴趣小组”，求事件K发生的概率． 解：(1)由已知，甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数之比为3∶2∶1， 由于采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取6人，因此从甲、乙、丙三个兴趣小组中分别抽取3人、2人、1人． (2)①从抽出的6人中随机抽取2人的所有可能结果为 (A，B)，(A, C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种． ②不妨设抽出的6人中，来自甲兴趣小组的是A，B，C， 来自乙兴趣小组的是D，E，来自丙兴趣小组的是F， 则从6人中随机抽取2人来自同一兴趣小组的可能结果为(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，共4种， 所以事件K发生的概率P(K)＝. 　　某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如下的男生和女生数学成绩的频率分布直方图． 　 (1)若所得分数大于等于80认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少？ (2)在(1)中的优秀学生中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率． 解：(1)由题图可得，男生优秀人数为 100×(0.01＋0.02)×10＝30， 女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45. (2)因为样本量与总体中的个体数的比是＝， 所以样本中包含的男生人数为30×＝2， 女生人数为45×＝3. 设两名男生分别为A1，A2，三名女生分别为B1，B2，B3， 则从5人中任意选取2人的样本点有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个． 记事件C为“选取的2人中至少有一名男生”， 则事件C包含的样本点有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个， 所以P(C)＝， 即选取的2人中至少有一名男生的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $$