(教参)7.3 复数的三角表示-【精彩三年】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册课程探究与巩固教师用书word+课件PPT（人教A版，全国Ⅰ卷）

7．3*　复数的三角表示 7．3.1　复数的三角表示式 1．通过复数的几何意义，了解复数的三角表示.2.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系． (见学生用书P62)　　　　　　　 课时构建判断正误(请在括号中打“√”或“×”) (1)复数的辐角是唯一的．(　×　) (2)z＝cos θ－isin θ是复数的三角形式．(　×　) (3)z＝－2(cos θ＋isin θ)是复数的三角形式．(　×　) (4)复数z＝cos π＋isin π的模是1，辐角的主值是π.(　√　) (见学生用书P62)　　　　　　　 类型一 复数的三角表示式 例1下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式． (1)z1＝cos 60°＋isin 30°. (2)z2＝2. 解：(1)由“角相同”知，不是三角形式． z1＝cos 60°＋isin 30°＝＋i，模r＝ ＝，cos θ＝，与z1对应的点在第一象限，所以取θ＝45°. 即z1＝cos 60°＋isin 30°＝. (2)由“加号连”知，不是三角形式．复平面上的点Z2在第四象限，不需要改变三角函数名称，可利用诱导公式“2π－”变换到第四象限． 所以z2＝2 ＝2 ＝2. 活学活用 下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式． (1)z1＝2. (2)z2＝. (3)z3＝－2(cos θ＋isin θ). 解：(1)z1＝2符合三角形式的结构特征，是三角形式． (2)由“加号连”知，不是三角形式． z2＝＝－－i， 模r＝，cos θ＝－. 复数对应的点在第三象限，所以取θ＝π， 即z2＝ ＝. (3)复平面内的点Z3(－2cos θ，－2sin θ)在第三象限(假定θ为锐角)，余弦“－cos θ”已在前，不需要变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限， 所以z3＝－2(cos θ＋isin θ) ＝2[cos (π＋θ)＋isin (π＋θ)]. [题后感悟] 复数三角形式z＝r的四个条件 (1)模r≥0. (2)三角函数是同一个角θ(辐角)的余弦和正弦． (3)θ的正弦与i相乘． (4)θ的余弦与正弦之间用加号连接． 类型二复数的三角形式化为代数形式 例2分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式． (1)4.　(2)2. 解：(1)复数4的模r＝4，辐角的主值为θ＝. 4＝4cos ＋4isin ＝4×＋4×i＝2＋2i. (2)2 ＝2 ＝2. 所以复数的模r＝2，辐角的主值为π. 2＝2cos π＋2isin π ＝2×＋2×i ＝1－i. 活学活用 把下列复数表示成代数形式： (1)z1＝3. (2)z2＝5(cos 135°＋isin 135°). 解：(1)z1＝3＝3×＋3×i＝＋i. (2)z2＝5(cos 135°＋isin 135°) ＝5×＋5×i ＝－＋i. [题后感悟] 将复数的三角形式化为代数形式的一般步骤 (1)求出三角形式中的辐角的正弦值和余弦值； (2)将结果写成复数的代数形式． 类型三复数的代数形式化为三角形式 例3 把下列复数的代数形式化成三角形式． (1)＋i.(2)－i. 解：(1)r＝＝2，因为＋i对应的点在第一象限， 所以cos θ＝，即θ＝，所以＋i＝2. (2)r＝＝2，cos θ＝， 又因为－i对应的点位于第四象限，所以θ＝. 所以－i＝2. 活学活用 把下列复数表示成三角形式： (1)－i.(2)－2. 解：(1)r＝2，对应的点在第四象限，且cos θ＝，所以取θ＝π， 所以－i＝2. (2)－2＝－＋i，r＝2， 对应的点在第二象限，且cos θ＝－， 所以取θ＝. 所以－2＝2. [题后感悟] 一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值．这样既能使表达式简便，又便于运算． 当 堂 自 评 　　　　　　 　　　　　　　　　　 1．将复数4化成代数形式，正确的是(　D　) A．4 B．－4 C．4i D．－4i 【解析】 4＝4[0＋i(－1)]＝－4i. 2．复数2的模是(　C　) A．1 B． C．2 D．2 【解析】 2＝2，故该复数的模为2. 3．复数sin 50°－isin 140°的辐角的主值是(　D　) A．150° B．40° C．－40° D．320° 【解析】 sin 50°－isin 140°＝cos (270°＋50°)＋isin (180°＋140°)＝cos 320°＋isin 320°，所以辐角的主值是320°. 4．复数z＝1－i(i为虚数单位)的三角形式为(　D　) A．z＝(sin 45°－icos 45°) B．z＝(cos 45°－isin 45°) C．z＝[cos