(教参)6.3 平面向量基本定理及坐标表示-【精彩三年】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册课程探究与巩固教师用书word+课件PPT（人教A版，全国Ⅰ卷）

6．3　平面向量基本定理及坐标表示 6．3.1　平面向量基本定理 1．理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义.2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题． (见学生用书P18)　　　　　　　 课时构建 判断正误 (请在括号中打“√”或“×”) 基底 (1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一个基底．(　×　) (2){0，e}可以作为基底．(　×　) (3)平面向量基本定理中基底的选取是唯一的．(　×　) (4)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，且a＝e1－2e2，b＝－3e1＋6e2，则也是一个基底．(　×　) 平面向量基本定理 (5)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．(　√　) (见学生用书P18)　　　　　　　 类型一 平面向量基本定理 例1　(1)如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(　D　) 　　　　 　　　　　　　　　　 A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2 C．e1＋e2与e1－e2 D．e1＋3e2与2e1＋6e2 (2)[多选题]如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　BC　) A．a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2成立的实数对(λ，μ)有无穷多个 C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则＝ D．若存在实数λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 【解析】 (1)对于A，设e1＋e2＝λe1，则所以无解； 对于B，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则所以无解； 对于C，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则所以无解； 对于D，设e1＋3e2＝λ(2e1＋6e2)，则解得λ＝，所以这两个向量是共线向量． 故D中向量不能作为平面内所有向量的一组基底，故选D. (2)由平面向量基本定理可知，AD的说法是正确的． 对于B，由平面向量基本定理可知，若平面的基底确定，那么同一平面内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的． 对于C，当λ1＝λ2＝0或μ1＝μ2＝0时，结论不成立． 活学活用 [多选题]设点O是▱ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是(　AC　) A．与 B．与 C．与 D．与 【解析】 寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD中，与 不共线，与不共线；而∥，∥，故AC选项可作为基底． [题后感悟] 两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底；反之，则可作基底． 类型二用基底表示向量 例2 如图，在平行四边形OADB中，设向量＝a，＝b， 点M，N是对角线AB上的两点，且BM＝MN＝BA， 试用a，b表示与. 　解：∵四边形OADB为平行四边形，向量＝a，＝b， 点M，N是对角线AB上的两点，且BM＝MN＝BA， ∴＝＋＝＋＝＋＝a＋b， ＝＋＝＋＝＋＝a＋b. 活学活用 如图，在平行四边形ABCD中，设对角线上的向量＝a， ＝b，试用基底{a，b}表示，. 解：设AC，BD交于点O，则有＝＝＝a， ＝＝＝b，所以＝＋＝－ ＝a－b，＝＋＝b＋a. [题后感悟] 用基底表示向量的方法 将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解． 类型三平面向量基本定理的应用 例3　如图，在△ABC中，M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN. 解：设＝e1，＝e2， 则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2. 因为A，P，M和B，P，N分别共线， 所以存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2， ＝μ＝2μe1＋μe2. 故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2. 而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理， 得解得 所以＝，＝. 所以AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2. 活学活用 如图所示，L，M，N分别为△ABC的边BC，CA，AB上的点， 且＝l，＝m，＝n， 若＋＋＝0，求证：l＝m＝n. 证明：令＝a，＝b为一组基底， 根据已知有＝la，＝mb. ∵＝＋＝－a－b，则有＝n＝－na－nb. ∴＝＋＝(l－1)a－b，＝＋＝a＋mb， ＝＋＝－na＋(1－n)b.又＋＋＝0， ∴(l－n)a＋(m－n)b＝0. 根据平面向量基本定理，有l－n＝m－n