(教参)6.2 平面向量的运算-【精彩三年】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册课程探究与巩固教师用书word+课件PPT（人教A版，全国Ⅰ卷）

6．2　平面向量的运算 6．2.1　向量的加法运算 1．理解并掌握向量加法的概念.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性． (见学生用书P4)　　　　　　　 课时构建 判断正误(请在括号中打“√”或“×”) 向量加法运算及其几何意义 (1)任意两个向量的和仍然是一个向量．(　√　) (2)对于任意两个向量，都可利用平行四边形法则求出它们的和向量．(　×　) (3)若a＋b＝0，则a＝0且b＝0.(　×　) (4)||＋||＝||.(　×　) 向量加法的运算律 (5)＋＝.(　√　) (6)＋＝0.(　√　) (7)向量的加法与实数的加法类似，都满足交换律和结合律．(　√　) (见学生用书P5)　　　　　　　 类型一 向量加法运算及其几何意义 　　(1)如图1所示，求作向量a＋b. (2)如图2所示，求作向量a＋b＋c. 解：(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b， 则向量＝a＋b.如图1所示． (2)方法一：(三角形法则)如图2所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求． 方法二：(平行四边形法则)如图3所示， 首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c， 以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD， 则＝＋＝a＋b. 再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE， 则＝＋＝a＋b＋c即为所求． 活学活用 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)： (1)＋＝____. (2)＋＝____. (3)＋＋＝____． 【解析】 由已知可得四边形DFCB为平行四边形． (1)易知＝.由向量加法的三角形法则， 得＋＝＋＝. (2)易知＝，所以＋＝＋＝. (3)＋＋＝＋＋＝. [题后感悟] 三角形法则与平行四边形法则的适用条件 法则 三角形法则 平行四边形法则 两向量位置关系 两向量共线或不共线均可 只适用于两向量不共线的情况 两向量起点、终点的特点 一个向量的终点为另一个向量的起点 两向量起点相同 类型二 向量加法的运算律 化简：(1)(＋)＋(＋). (2)＋＋＋＋. 解：(1)方法一：(＋)＋(＋) ＝(＋)＋(＋)＝＋＝. 方法二：(＋)＋(＋) ＝＋(＋＋)＝＋0＝. (2)＋＋＋＋ ＝(＋)＋(＋＋)＝＋＝0. 活学活用 [多选题]下列等式成立的是(　ABD　) A．＋＝0 B．＝＋＋ C．＋＋＋＝0 D．＋＋＋＝0 【解析】 由向量加法的三角形法则可知A对； ＋＋＝＋＝＋＝，B对； ＋＋＋＝＋＋＝，C错； ＋＋＋＝＋＋＝＋＝0，D对． [题后感悟] 向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行． (2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． 类型三向量加法的实际应用 例3 在静水中船的速度大小为20 m/min，水流的速度大小为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向． 解：作出图形，如图．设船速v船与岸的方向成α角， 由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件可知，四边形 ABCD为平行四边形，在Rt△ACD中， ||＝||＝|v水|＝10 m/min， ||＝|v船|＝20 m/min， 所以cos α＝＝＝， 所以α＝60°，从而船与水流方向成120°的角． 故船行进的方向与水流的方向成120°的角． 迁移探究 (1)若本例条件不变，求经过3小时，该船的实际航程是多少千米？ (2)若本例的条件改为船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向(相当于与河岸的夹角)的正切值． 解：(1)由本例解析图可知||＝||＝×20 ＝10(m/min)＝(km/h)， 则经过3小时，该船的实际航程是3×＝(km). (2)如图所示，||＝||＝|v船|＝20 m/min， ||＝|v水|＝10 m/min，则tan ∠BAC＝2即为所求． 活学活用 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A处和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计). 活学活用题图 　　　　　活学活用答图 解：如图所示，设，分别表示A，B所 受的力，10 N的重力用表示，则＋＝. 易得∠ECG＝180°－1