(教参)6.1 平面向量的概念-【精彩三年】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册课程探究与巩固教师用书word+课件PPT（人教A版，全国Ⅰ卷）

第六章　平面向量及其应用 6．1　平面向量的概念 1．能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别.3.理解零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念． (见学生用书P1)　　　　　　　 判断正误(请在括号中打“√”或“×”) 向量的概念 (1)向量既有代数特征又有几何特征，大小是其代数特征，方向是其几何特征．(　√　) (2)物理量如速度、加速度、质量、密度、力都是向量．(　×　) 向量的几何表示 (3)零向量的大小为零，没有方向．(　×　) (见学生用书P2)　　　　　　　 类型一 向量的概念 　　判断下列说法是否正确． ①有向线段与表示同一向量； ②若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反； ③若向量是单位向量，则也是单位向量； ④以平面直角坐标系内的定点A为起点，所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆． 解：有向线段与的方向相反，不表示同一向量，因此说法①错误；由单位向量的定义知，凡长度为1个单位长度的向量均称为单位向量，但是对方向没有任何要求，因此说法②错误；因为||＝||，所以当是单位向量时，也是单位向量，因此说法③正确；由于向量||＝1，所以点P是以点A为圆心的单位圆上的一点，因此说法④正确． 活学活用 [多选题]下列结论中正确的是(　BC　) A．若a，b都是单位向量，则a＝b B．物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量 C．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量 D．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 【解析】 对于A，单位向量的方向不一定相同，故A错误；对于B，物理学中的作用力与反作用力大小相等，方向相反，是一对共线向量，故B正确；对于C，如图所示，方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量在一条直线上，是共线向量，故C正确；对于D，直角坐标平面上的x轴、y轴只有方向，没有大小，不是向量，故D错误．综上，正确的结论有BC. [题后感悟] (1)判断一个量是否为向量的两个关键条件：①有大小；②有方向．两个条件缺一不可．(2)理解零向量和单位向量应注意的问题：①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向． 类型二向量的几何表示及应用 　　一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点． (1)作出向量，，. (2)求||. 解：(1)向量，，如右图所示． (2)由题意，可知与方向相反，故与共线， ∵||＝||， ∴在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴＝，∴||＝||＝200 km. 活学活用 下图的方格由若干个边长为1的小正方形组成，方格中有定点A，点C为小正方形的顶点，且||＝，画出所有的向量. 活学活用题图 　　　　活学活用题答图 解：∵||＝，∴C点落在以A为圆心，以为半径的圆上，又∵点C为小正方形的顶点，根据该条件不难找出满足条件的点C，所有符合条件的向量如右上图所示． [题后感悟] 1．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的大小确定向量的终点． 2．注意事项：在用有向线段表示向量时不要忘记字母上的箭头． 类型三 相等向量与共线向量 　　如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，则与平行且长度为2的向量有哪些？(在图中标出相关字母，写出这些向量) 例3题图 　　　例3题答图 解：如图所示，满足与平行且长度为2的向量有，，，，，，，，共8个． 迁移探究 (1)本例中，与向量同向且长度为 2的向量有几个？ (2)本例中，如图所示，与向量相等的向量有多少个？ 解：(1)与向量同向且长度为2的向量占 与向量平行且长度为2的向量的一半，共4个． (2)题图中每个小正方形的对角线所在的向量中，与向 量方向相同的向量与其相等，共有8个(不包括本身). 活学活用 在下图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量： (1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°方向． (2)，使||＝4，点B在点A正东方向． (3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向． 活学活用题图 　　活学活用答图 解：，和如右上图． [题后感悟] (1)寻找相等向量：先找与已知向量长度相等的向量，再确定哪些与已知向量同向． (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线