(教参)高效作业 4.4 数学归纳法-【精彩三年】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册课程探究与巩固教师用书word+课件PPT（人教A版，全国Ⅰ卷）

高效作业15[4.4*　数学归纳法](见学生用书P117) [A级　新教材落实与巩固] 一、单项选择题 1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)时，第一步验证当n＝1时，左边应取的项是(　D　) A．1 B．1＋2 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 2．欲用数学归纳法证明“对于足够大的正整数n，总有2n>n3”，则验证不等式成立所取的第一个n的最小值应当是(　C　) A．1 B．大于1且小于6的某个正整数 C．10 D．大于5且小于10的某个正整数 【解析】根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立； 结合本题，要验证 当n＝1时，左边＝21＝2，右边＝13＝1，2n>n3成立； 当n＝2时，左边＝22＝4，右边＝23＝8，2n>n3不成立； 当n＝3时，左边＝23＝8，右边＝33＝27，2n>n3不成立； 当n＝4时，左边＝24＝16，右边＝43＝64，2n>n3不成立； 当n＝5时，左边＝25＝32，右边＝53＝125，2n>n3不成立； 当n＝6时，左边＝26＝64，右边＝63＝216，2n>n3不成立； 当n＝7时，左边＝27＝128，右边＝73＝343，2n>n3不成立； 当n＝8时，左边＝28＝256，右边＝83＝512，2n>n3不成立； 当n＝9时，左边＝29＝512，右边＝93＝729，2n>n3不成立； 当n＝10时，左边＝210＝1 024，右边＝103＝1 000，2n>n3成立． 所以当n≥10时，2n>n3恒成立，所以n的最小值为10. 3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋25n-1能被31整除时，从k到k＋1添加的项数为(　C　) A．7 B．6 C．5 D．4 【解析】设Sn＝1＋2＋22＋…＋25n-1， 则当n＝k时，Sk＝1＋2＋22＋…＋25k-1， 当n＝k＋1时，Sk＋1＝(1＋2＋22＋…＋25k-1)＋(25k＋25k+1＋25k+2＋25k+3＋25k+4)＝Sk＋(25k＋25k+1＋25k+2＋25k+3＋25k+4)，∴从k到k＋1添加了5项． 4．在数列中，a1＝1，Sn表示前n项和，且Sn，Sn＋1，2S1成等差数列，通过计算S1，S2，S3的值，猜想Sn等于(　B　) A． B． C． D．1－ 【解析】由题意可知2Sn＋1＝2S1＋Sn.当n＝1时，S2＝， 当n＝2时，2S3＝2S1＋S2＝，S3＝. 由S1，S2，S3分别为1＝，＝，＝， 猜想：当n≥1时，Sn＝. 5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝时，由n＝k到n＝k＋1，左边需要添加的项数为(　D　) A．1 B．k C．k2 D．2k＋1 【解析】当n＝k时，等式左端为1＋2＋3＋…＋k2， 当n＝k＋1时，等式左端为1＋2＋3＋…＋2＝1＋2＋3＋…＋k2＋＋…＋，所以共增加了2k＋1项． 6．对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1， 所以当n＝k＋1时，不等式成立． 则上述证法(　D　) A．过程全部正确 B．n＝1时验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 【解析】当n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设． 二、多项选择题 7．用数学归纳法证明不等式＋＋＋…＋＞的过程中，下列说法中正确的是(　BC　) A．使不等式成立的第一个自然数n0＝1 B．使不等式成立的第一个自然数n0＝2 C．由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是 D．由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是 【解析】当n＝1时，＞不成立，当n＝2时，＋＞成立，所以A错误，B正确； 当n＝k时，左边的代数式为＋＋…＋， 当n＝k＋1时，左边的代数式为＋＋…＋， 故用n＝k＋1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式，可得－＝为不等式的左边增加的式子，故C正确，D错误． 8．用数学归纳法证明>对任意n≥k的自然数都成立，则以下满足条件的k的值中正确的为(　CD　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】当k＝1时，＝<，不合要求，舍去； 当k＝2时，＝<，不合要求，舍去； 当k＝3时，＝>，符合题意； 当k＝4时，＝>，符合题意． 下证：当n≥3时，>成立， 当n＝3时，＝>成立， 假设当n＝k时，均有>，解得2k>2k＋1. 当n＝k＋1时，有＝1－>1－＝， 因为－＝>0，所以>成立， 由数学归纳法可知，>对任意n≥3的自然数都成立． 三、填空题 9．用数学归纳法证明1＋32＋52＋…＋2＝n的过程中，由n＝k递推到