(教参)高效作业 4.3 等比数列-【精彩三年】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册课程探究与巩固教师用书word+课件PPT（人教A版，全国Ⅰ卷）

高效作业10[4.3.1　第2课时　等比数列的性质](见学生用书P107) [A级　新教材落实与巩固] 一、单项选择题 1．对任意等比数列，下列说法一定正确的是(　D　) A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 2．已知为正项等比数列，且a1·a5＝4，a4＝6，则a5＝(　D　) A．8 B．9 C．12 D．18 3．已知等比数列：－1，2，－4，8，…，若取此数列的偶数项a2，a4，a6，…组成新的数列，则b8等于(　C　) A．210 B．－210 C．215 D．28 4．正项递增等比数列，若a2＋a4＝30，a1a5＝81，则＝(　C　) A．9 B．或9 C． D．－ 【解析】解得或 因为是正项递增的等比数列，所以即＝. 5．已知公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q为(　B　) A． B．3 C．± D．±3 【解析】设等差数列为{an}，公差为d，d≠0，则a＝a2·a6，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)·(a1＋5d)，化简得d2＝－2a1d. ∵d≠0，∴d＝－2a1，∴a2＝－a1，a3＝－3a1，∴q＝＝3. 6．在等比数列{an}中，设a1＋a3＋a5＝6，＋＋＝2，则a1a3a5＝(　D　) A．±2 B．±3 C．2 D．3 【解析】由等比数列的性质可知＋＋＝＝2，又a1＋a3＋a5＝6，所以a1a5＝3.易知a1a3a5＞0，所以a1a3a5＝3 . 二、多项选择题 7．已知数列是等比数列，则下列说法正确的是(　AB　) A．数列为等比数列 B．数列an，an＋m，an＋2m，…为等比数列 C．数列an，an＋m，an＋2m，an＋3m，…为等比数列 D．数列为等比数列 【解析】由等比数列的定义可知，数列每项乘一个不为0的常数构成的数列为等比数列，A正确； 等比数列中等距离项构成的数列为等比数列，B正确； 因为m，2m，3m，…构成一个等差数列，所以当m≠0时不能构成等比数列，C错误； 当an＝(－1)n时，不一定有意义，D错误． 8．已知等比数列的首项为a1，公比为q，则下列命题正确的是(　AC　) A．若a1＝1，q＝－2，则数列是摆动数列 B．若q>1，则数列是单调递增数列 C．若a1>0，q>0，bn＝lg an，则数列是公差为lg q的等差数列 D．若a1>0，q>0，且2＝a5a6＋12，则a1＋a10的最小值为4 【解析】对于A，an＝1×(－2)n-1＝(－2)n-1，则数列的各项依次为1，－2，4，－8，16，－32，… 所以数列是摆动数列，故A正确； 对于B，∵an＝a1·qn-1，故的单调性由q和a1共同决定，由q>1无法判断数列为递增数列，如a1<0，此时数列为递减数列，故B错误； 对于C，∵bn＋1－bn＝lg an＋1－lg an＝lg ＝lg q为常数， ∴数列是公差为lg q的等差数列，故C正确； 对于D，若a1>0，q>0，则an>0，a5a6＝a1a10， ∵2＝a5a6＋12， ∴2＝a1a10＋12≤2＋12， 即2≤＋12， 即2≤16，即0<a1＋a10≤4， 即当a1＝a10时，a1＋a10的最大值为4，故D错误． 三、填空题 9．等比数列为单调递减数列，写出满足上述条件的一个数列的通项公式__an＝__． 【解析】 ∵等比数列为单调递减数列， ∴a1>0，0<q<1或a1<0，q>1，∴满足上述条件的一个数列的通项公式为an＝. 10．已知数列是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列的通项公式为__an＝2n-1__． 【解析】设公比为q(q>1)，依题意得消去q3得a·＝8，即a－9a1＋8＝0，解得a1＝1或a1＝8，当a1＝8时，q＝，舍去； 当a1＝1时，q＝2，所以an＝a1qn-1＝2n-1. 11．在等比数列{an}中，a2a6＋a5a11＝16，则a3a9的最大值是__8__． 【解析】由等比数列的性质知a3a9＝a4a8，∵a2a6＋a5a11＝a＋a＝16≥2a4a8(当且仅当a4＝a8时取等号)，∴a4a8≤8，∴a3a9≤8，即a3a9的最大值为8. 12．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＝6，a3＋a4＝3，则a5＋a6＋a7＋a8＝____． 【解析】因为{an}为等比数列， 所以a3＋a4是a1＋a2与a5＋a6的等比中项，所以(a3＋a4)2＝(a1＋a2)(a5＋a6)， 所以a5＋a6＝＝＝. 同理，a5＋a6是a3＋a4与a7＋a8的等比中项， 所以(a5＋a6)2＝(a3＋a4)(a7＋a8)，故a7＋a8＝＝，所以