(教参)5.3 导数在研究函数中的应用-【精彩三年】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册课程探究与巩固教师用书word+课件PPT（人教A版，全国Ⅰ卷）

5．3　导数在研究函数中的应用 5．3.1　函数的单调性 [课程目标] 1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.会用导数求函数的单调区间(多项式函数不超过三次). (见学生用书P69) 知识点 1．函数的单调性与其导数的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)＞0 单调递__增__ f′(x)＜0 单调递__减__ [研读] (1)“在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)”是“函数f (x)在此区间上单调递增(减)”的充分条件，而不是必要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f (x)在包含该点的某个区间上的单调性．例如函数f (x)＝x3是增函数，但因为f′(x)＝3x2，所以f′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f′(x)>0. (2)如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f (x)是常数函数． 2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化得__较快__，其图象比较__陡峭__(向上或向下).反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较平缓． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．(　×　) (2)函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.(　×　) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　√　) (4)函数f(x)＝的单调递增区间是(－∞，e).(　×　) (见学生用书P70) 类型一 函数图象与导函数图象的关系 例1　(1)f′(x)为f(x)的导函数，f′(x)的图象如下，则函数f(x)的图象可能为(　B　) (2)已知函数f(x)与其导函数f′(x)的图象如下，则满足f′(x)<f(x)的x的取值范围为(　D　) A．(0，4) B．(－∞，0)∪(1，4) C． D．(0，1)∪(4，＋∞) 【解析】 (1)导数的正负决定函数的增减，根据导数先正，后负，再正， 所以函数图象先递增后递减再递增，应从B，C中选取， 再根据导数的几何意义是切线斜率， 所以当x是很大的正数的时候导数越来越大，即切线斜率越来越大， 所以应选B，不选C.故选B. (2)观察图象，可得导函数f′(x)的图象过点(0，0)，，原函数f(x)的图象过点(0，0)，(2，0)，观察图象可得满足f′(x)<f(x)的x的取值范围为(0，1)∪(4，＋∞)，故选D. [规律方法] 函数图象的单调性可以通过导数的正负来分析判断，即符号为正，图象上升；符号为负，图象下降．看导函数图象时，主要是看图象在x轴上方还是下方，即关心导数值的正负，而不是其单调性．解决问题时，一定要分清是函数图象还是其导函数图象． 活学活用 (1)已知函数y＝f(x)的图象如下，则其导函数的图象大致为(　A　) (2)已知函数y＝xf′(x)的图象如右(其中f′(x)是函数f (x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f (x)的图象大致是(　C　) A. B. C. D. 【解析】 (1)由f(x)的图象可知，函数f(x)单调递增，递增的速度由快到慢，再由慢到快，由导数的几何意义可知，f′(x)先减后增，且恒大于0，故符合题意的只有选项A.故选A. (2)当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＜0，故f(x)在(0，1)上单调递减；当x＞1时xf′(x)＞0，∴f′(x)＞0，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增． 又当－1＜x＜0时xf′(x)＞0，∴f′(x)＜0.故f(x)在(－1，0)上单调递减，当x＜－1时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＞0，∴f(x)在(－∞，－1)上单调递增，对比图象，故选C. 类型二 求函数的单调区间 例2　利用导数判断下列函数的单调性． (1)f(x)＝x3－x2＋2x－5. (2)f(x)＝x2－3x＋ln x. (3) f (x)＝x2e－x. 解： (1)因为f(x)＝x3－x2＋2x－5， 所以f′(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0， 所以函数f(x)＝x3－x2＋2x－5的单调递增区间为(－∞，＋∞). (2)函数f(x)＝x2－3x＋ln x的定义域为， f′(x)＝2x－3＋＝＝， 令f′(x)<0，即解得<x<1， ∴函数f(x)的单调递减区间为； 令f′(x)>0，即解得0<x<或x>1，∴函数f(x)的单调递增区间为和(1，＋∞). (3)函数的定义域为(－∞，＋∞). ∵f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x