(教参)5.2 导数的运算-【精彩三年】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册课程探究与巩固教师用书word+课件PPT（人教A版，全国Ⅰ卷）

5．2　导数的运算 5．2.1　基本初等函数的导数 [课程目标] 1.能根据导数的定义推导常用函数的导数.2.掌握基本初等函数的导数公式.3.利用基本初等函数的导数公式解决有关问题． (见学生用书P63) 知识点一　几个常用函数的导数 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝__0__ f(x)＝x f′(x)＝__1__ f(x)＝x2 f′(x)＝__2x__ f(x)＝x3 f′(x)＝__3x2__ f(x)＝ f′(x)＝__－__ f(x)＝ f′(x)＝____ [研读](1)以上几个常用函数的导数都是通过导数的定义求得的，都属于幂函数的导数． (2)以上几个常见的导数公式需记牢，在求导数时，可直接应用． 知识点二　基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝__0__ f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝__αxα-1__ f(x)＝sin x f′(x)＝__cos_x__ f(x)＝cos x f′(x)＝__－sin_x__ f(x)＝ax(a>0 且a≠1) f′(x)＝__ax_ln_a__， 特别地，若f(x)＝ex，则f′(x)＝__ex__ f(x)＝logax(a>0 且a≠1) f′(x)＝____， 特别地，若f(x)＝ln x，则f′(x)＝____ [研读]对于根式f(x)＝，要先转化为f(x)＝，所以f′(x)＝． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)若y＝，则y′＝×3＝.(　×　) (2)若f(x)＝sin x，则[f(π)]′＝－1.(　×　) (3)若f(x)＝log2x，则f′(x)＝.(　×　) (4)若f(x)＝2x，则f′(x)＝2xlog2e.(　×　) (见学生用书P63) 类型一 利用导数公式求函数的导数 例1　求下列函数的导数． (1)y＝sin .(2)y＝.(3)y＝. (4)y＝lg x．(5)y＝cos . 解： (1)∵y＝sin ＝，∴y′＝0. (2)∵y＝＝x-5，∴y′＝－5x-6. (4)∵y＝lg x，∴y′＝. (5)y＝cos ＝sin x，∴y′＝cos x． [规律方法] 求简单函数的导函数有两种基本方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂． (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． 活学活用 求下列函数的导数． (1)y＝2x.(2)y＝log2x. (3)f(x)＝. (4)f(x)＝－2sin . 解： (1)y′＝(2x)′＝2x ln 2. (2)y′＝(log2x)′＝. (4)由f(x)＝－2sin ＝2sin (2cos 2－1)＝2sin cos ＝sin x，可得f′(x)＝cos x． 类型二 利用导数公式求切线方程或参数值 例2　(1)过点O(0，0)作曲线y＝ln x的切线，则切线方程为__x－ey＝0__． 【解析】 ∵O(0，0)不在曲线y＝ln x上． ∴设切点为Q(x0，y0)，则切线的斜率k＝. 又切线的斜率k＝＝，∴＝，即x0＝e， ∴Q(e，1)，∴k＝， ∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0. (2)求函数y＝sin x在点处的切线方程． 解： 因为y′＝cos x，所以k＝cos ＝，所以切线方程为y－＝，即3x－6y＋3－π＝0. 例3　(1)已知曲线y＝ex在x0处的切线方程为ex－y＋m＝0，则(　A　) A．m＝0 B．m＝1－e C．m＝－1 D．m＝e (2)已知直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝ln x相切， 则k＝__e-2__． 【解析】 (1)由题意，得y′＝ex，则解得m＝0. (2)由f(x)＝ln x，所以f′(x)＝，设切点为， 所以f′＝，则解得 [规律方法] 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)如果切点已知，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数． (2)如果切点未知，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． 活学活用 (1)曲线y＝ln x的斜率等于4的切线方程是__4x－y－1－ln_4＝0__． (2)直线y＝2x＋b与曲线y＝相切，则b＝____． 【解析】 (1)设切点坐标为(x0，y0). 因为y′＝，曲线y＝ln x在点(x0，y0)处的切线的斜率等于4， 所以y′|x＝x0＝＝4，得x0＝，所以y0＝－ln 4，所以切点为，所以所求切线方程为y＋ln 4＝4， 即4x－y－1－ln 4＝0. (2)因为y＝，所以y′＝()′＝．设切点为，则解得 1．已知函数y＝x3