(教参)5.1 导数的概念及其意义-【精彩三年】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册课程探究与巩固教师用书word+课件PPT（人教A版，全国Ⅰ卷）

5．1　导数的概念及其意义 5．1.1　变化率问题 [课程目标] 1.理解瞬时速度的意义，会求某时刻的瞬时速度.2.理解极限的意义，会求在曲线上某点处的切线的斜率及切线方程． (见学生用书P54) 知识点一　平均速度与瞬时速度 物体运动时，时间t和位移y有函数关系y＝h(t). (1)平均速度：一般地，在t1≤t≤t2这段时间里，＝____称为平均速度． (2)瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．物体在t0时刻的瞬时速度为 . [研读](1)Δt是t附近的微小变化量，可正可负． (2)瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)在函数y＝f(x)中，Δx与Δy(Δy＝f(x＋Δx)－f(x))的值均可取0.(　×　) (2)瞬时速度就是一段时间内的平均速度．(　×　) (3)若平均速度不断增大，则函数图象“越来越陡”．(　√　) 知识点二　曲线的切线及切线的斜率 (1)切线：如图，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线． (2)切线的斜率：设P0(x0，y0)是曲线y＝f(x)上一点，则曲线y＝f(x)在点P0(x0，y0)处的切线的斜率k0＝ ____. [研读]切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线PP0无限趋近于点P0处的切线P0T.这时，割线PP0的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0. 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)曲线在某点处的切线是过该点的割线的极限位置．(　√　) (2)函数y＝sin x图象上某点处的切线可能与图象的公共点不止一个．(　√　) (3)抛物线y＝x2＋1在点(1，2)处的切线斜率为2.(　√　) (见学生用书P55) 类型一 求物体运动的平均速度 例1　某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝sin t，t∈. (1)分别求s(t)在区间和上的平均速度． (2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义． 解： (1)物体在区间上的平均速度为 1＝＝＝； 物体在区间上的平均速度为2＝＝＝. (2)由(1)可知1－2＝＞0，所以1＞2.作出函数s(t)＝sin t在上的图象，如图，可以发现，s(t)＝sin t在上随着t的增大，函数值s(t)变化得越来越慢． [规律方法] 求物体运动的平均速度的主要步骤 (1)先计算位移的改变量s(t2)－s(t1). (2)再计算时间的改变量t2－t1. (3)得平均速度＝. 活学活用 (1)某物体沿直线运动，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为s(t)＝t2＋t，则在1≤t≤4这段时间内，该物体的平均速度为(　B　) A．2 m/s B． m/s C． m/s D．3 m/s (2)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如下，在时间段，，上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为(　A　) A．1<2<3 B．1<3<2 C．3<2<1 D．2<3<1 【解析】 (1)由位移s与时间t之间的关系为s(t)＝t2＋t，可得在1≤t≤4这段时间内，该物体的平均速度为＝＝(m/s)，故选B. (2)因为1＝kOA，2＝kAB，3＝kBC，由图象知kOA＜kAB＜kBC，所以1＜2＜3. 类型二 求瞬时速度 例2　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示． (1)求物体的初速度． (2)求物体在t＝1 s时的瞬时速度． (3)若物体在t0时的瞬时速度为9 m/s，求t0的值． 解： (1)求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度， 因为＝＝＝1＋Δt， 所以 (1＋Δt)＝1， 即物体的初速度为1 m/s. (2)因为＝ ＝＝3＋Δt， 所以 ＝ (3＋Δt)＝3， 即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s. (3)因为＝＝2t0＋1＋Δt. 所以 ＝ (2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1， 则2t0＋1＝9，所以t0＝4. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s. [规律方法] 求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0). (2)求平均速度＝. (3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝ . 活学活用 已知自由落体的物体的运动方程为s＝gt2，求： (1)物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度． (2)物体在t0时的瞬时速度． 解： (