(教参)4.4 数学归纳法-【精彩三年】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册课程探究与巩固教师用书word+课件PPT（人教A版，全国Ⅰ卷）

4.4*　数学归纳法 [课程目标] 1.了解数学归纳法的原理；2.掌握用数学归纳法证明问题的一般方法与步骤；3.能用数学归纳法证明一些数学命题． (见学生用书P45) 知识点一　数学归纳法的定义 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当__n＝k＋1__时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为__数学归纳法__． 知识点二　数学归纳法的使用流程 [研读]用数学归纳法证题的三个关键点 (1)验证是基础．第一个步骤是要找一个数n0，这个n0就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点． (2)递推是关键．数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项． (3)利用假设是核心．在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要 利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”时的情况，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.(　×　) (2)数学归纳法的两个步骤缺一不可．(　√　) (3)与自然数n有关的问题都可以用数学归纳法来证明.(　×　) (4)在利用数学归纳法证明问题时，只要推理过程正确，也可以不用进行假设．(　×　) (5)用数学归纳法证明等式时，由n＝k到n＝k＋1，等式的项数一定增加了一项．(　×　) (见学生用书P46) 类型一 用数学归纳法证明等式 例1　用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝. 证明： ①当n＝1时，等式左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，则等式成立； ②假设当n＝k(k≥1且k∈N)时，等式成立，即 ＋＋＋…＋＝. 那么当n＝k＋1时， 左边＝＋＋＋…＋＋ ＝＋＝ ＝＝， 所以当n＝k＋1时，等式也成立． 由①②知，等式＋＋＋…＋＝成立． [规律方法] 用数学归纳法证明等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端的项是如何变化的，即增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明当n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与所作假设建立联系，并向n＝k＋1时证明目标的表达式进行变形． 活学活用 用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*). 证明： (1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，命题成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，即 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋. 那么当n＝k＋1时， 左边＝1－＋－＋…＋－＋－ ＝＋＋…＋＋－ ＝＋＋…＋＋， 上式表明当n＝k＋1时，命题也成立． 由(1)(2)知，命题对一切正整数n均成立． 类型二 用数学归纳法证明不等式 例2　已知n∈N*，n＞2，求证：1＋＋＋…＋＞. 证明： (1)当n＝3时，左边＝1＋＋，右边＝＝2，左边＞右边，不等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*，k≥3)时，不等式成立， 即1＋＋＋…＋＞. 则当n＝k＋1时， 1＋＋＋…＋＋ ＞＋ ＝＝ . 因为 ＞＝＝， 所以1＋＋＋…＋＋ ＞， 所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 由(1)(2)知，对一切n∈N*，n＞2，不等式恒成立． [规律方法] 用数学归纳法证明不等式的注意事项 (1)在归纳递推证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明． (2)在推证“n＝k＋1时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩、变形，便于应用所作假设，变换出要证明的结论． 活学活用 用数学归纳法证明：2n＋2>n2. 证明： (1)当n＝1时，21＋2>12，不等式成立； 当n＝2时，22＋2>22，不等式成立； 当n＝3时，23＋2>32，不等式成立． (2)假设当n＝k时不等式成立，即2k＋2>k2. 则当n＝k＋1时，2k+1＋2＝2－2>2k2－2＝2＋k2－2k－3. 因为k≥3，所以k2－2k－3＝≥0， 从而2k+1＋2>2＋k2－2k－3≥2， 所以2k+1＋2>2， 即当n＝k＋1时，不等式也成立． 根据(1)和(2)可以断定，2n＋2>n2对任何n∈N*都成立． 类型三 用数学归纳法证明整除问题 例3　求证：an+1＋(a＋1)2n