(教参)4.3 等比数列-【精彩三年】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册课程探究与巩固教师用书word+课件PPT（人教A版，全国Ⅰ卷）

4.3　等比数列 4．3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念与通项公式 [课程目标] 1.理解等比数列的概念，理解等比中项的概念；2.掌握等比数列的通项公式，能够用公式解决相关问题；3.掌握等比数列的判断与证明方法． (见学生用书P28) 知识点　等比数列的定义、等比中项、通项公式 1．一般地，如果一个数列从第__2__项起，每一项与它的前一项的比都等于__同一个常数__，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的__公比__，公比通常用字母q表示(q≠0).用符号语言表示为＝q(q为常数，q≠0，n∈N*). [研读]对等比数列定义的理解：(1)定义中强调“从第2项起”，因为第1项没有前一项． (2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数． (3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比，不要把分子与分母弄颠倒． (4)等比数列中的任何一项均不能为零． (5)等比数列的公比可以是正数、负数，但不能为零． 2．等比中项 (1)前提：三个数a，G，b成等比数列． (2)结论：__G__叫做a，b的等比中项． (3)满足的关系式：G2＝__ab__． [研读]等比中项概念的理解： (1)只有同号的两个实数才有等比中项． (2)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数． 3．等比数列的通项公式：若等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则{an}的通项公式an＝__a1qn-1__. 　　 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比为常数，则该数列为等比数列．(　×　) (2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．(　×　) (3)常数列一定为等比数列．(　×　) (4)任何两个数都有等比中项．(　×　) (5)在等比数列中，除第1项和最后一项外，其余各项都是它的前一项和后一项的等比中项．(　√　) (见学生用书P28) 类型一 等比数列通项公式的应用 例1　(1)在等比数列中，a3＝1，a5·a9＝16，则a9＝(　A　) A．8 B．－8 C．16 D．－16 (2)已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝__2n__． 【解析】 (1)设等比数列的公比为q，则a5＝a3q2，a9＝a3q6，而a3＝1，a5·a9＝16，于是得q2·q6＝16，即(q2)4＝16，解得q2＝2，所以a9＝(q2)3＝8. (2)由2(an＋an＋2)＝5an＋1得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或. 由a＝a10＝a1q9＞0得a1＞0.又数列{an}递增，所以q＝2. 由a＝a10得(a1q4)2＝a1q9，解得a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n. [规律方法] 等比数列的基本量是a1和q，等比数列问题可以归结为其基本量的运算问题，即依据题目条件，先根据等比数列的通项公式建立关于a1和q的方程(组)，再解方程(组)，求得a1和q的值，最后解决其他问题． 活学活用 (1)在数列中，an＋1＝－2an，且a2＝1，则an＝(　B　) A．2n-2 B．(－2)n-2 C．2n-1 D．(－2)n-1 (2)设是等比数列，且a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a5＋a6＝(　D　) A．12 B．24 C．32 D．48 【解析】 (1)∵an＋1＝－2an，a2＝1，∴a1＝－，＝－2，∴是公比为－2的等比数列，∴an＝－×(－2)n-1＝(－2)n-2. (2)∵是等比数列，设其公比为q，则由a1＋a2＝3，a2＋a3＝6得 解得∴an＝2n-1， ∴a5＋a6＝24＋25＝48. 类型二 等比中项及其应用 例2　已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项． 解： 设该等比数列的公比为q，首项为a1， ∵ ∴ ∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)， 上述两式相除，得q(1－q)＝，∴q＝， ∴a1＝＝＝96. 若G是a5，a7的等比中项，则应有 G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962×＝9， ∴a5，a7的等比中项是±3. [规律方法] (1)由等比中项的定义可知＝，G2＝ab，得G＝±，所以只有a，b同号时，a，b才有等比中项且等比中项有两个，异号时，没有等比中项． (2)a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0). 活学活用 (1)如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　B　) A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9 (2)已知2，a－3，－a成等比数列，则a的值为(　A　) A．2