(教参)4.2 等差数列-【精彩三年】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册课程探究与巩固教师用书word+课件PPT（人教A版，全国Ⅰ卷）

4.2　等差数列 4．2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念与通项公式 [课程目标] 1.理解等差数列的概念，理解等差中项的概念；2.掌握等差数列的通项公式，能运用公式解决相关问题；3.掌握等差数列的判断与证明． (见学生用书P9) 知识点　等差数列的定义、等差中项、通项公式 1．一般地，如果一个数列从__第2项__起，每一项与它的__前一项__的差都等于__同一个常数__，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的__公差__，公差通常用字母__d__表示． [研读](1)定义中强调“从第2项起”，因为第1项没有前一项． (2)每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等差数列的基本特征). (3)公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒． (4)公差可以是正数、负数、零． 2．等差中项 (1)条件：如果a，A，b成等差数列． (2)结论：那么A叫做a与b的等差中项． (3)满足的关系式是 __a＋b＝2A__． 3．等差数列的通项公式：以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式为__an＝a1＋(n－1)d__． [研读]由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列． 　　 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　×　) (2)等差数列{an}的单调性与公差d有关．(　√　) (3)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项．(　√　) (4)若a，b是方程x2＋2x－8＝0的两根，则a，b的等差中项为－2.(　×　) (见学生用书P10) 类型一 等差数列的通项公式及其应用 例1　在等差数列中，a1＝2，a15＝58. (1)求的通项公式． (2)判断96是不是数列中的项？ 解： (1)设等差数列的公差为d，则a15＝a1＋14d＝58，而a1＝2，于是得d＝4，an＝a1＋(n－1)d＝4n－2，所以数列的通项公式是an＝4n－2. (2)由(1)知，an＝4n－2，由4n－2＝96，得n＝不是正整数，所以96不是数列中的项． [规律方法] 等差数列通项公式的求法与应用技巧 (1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差． (2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数． (3)通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，可把an看作自变量为n的一次函数． 活学活用 (1)已知在等差数列中，a2＝－3，a3＝－5，则a9＝(　B　) A．－10 B．－17 C．－19 D．－21 (2)已知是首项为－24的等差数列，且从第10项起为正数，则公差d的取值范围是(　C　) A． B． C． D． (3)已知等差数列的前4项依次为－11，－9，－7，－5，则数列的通项公式为__an＝2n－13__． 【解析】 (1)设等差数列{an}的公差为d，由a2＝－3，a3＝－5，得d＝a3－a2＝－5－＝－2，所以an＝a2＋d＝－3－2＝－2n＋1，所以a9＝－2×9＋1＝－17. (2)设的公差为d，则an＝－24＋d，n∈N＋，由题意可得，解得<d≤3. (3)由题意，得a1＝－11，d＝a2－a1＝－9－(－11)＝2，则数列的通项公式为an＝－11＋2(n－1)＝2n－13. 类型二 等差中项的应用 例2　(1)若等差数列的前三项分别为a，2a－1，3－a，求其第2 024项． (2)在－1和7之间插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求这三个数． 解： (1)由等差中项公式得2(2a－1)＝a＋(3－a)，解得a＝， 所以数列的首项为，公差d＝－＝， 所以的通项公式为an＝＋(n－1)＝n＋1， 则第2 024项为a2 024＝×2 024＋1＝507. (2)依题意，－1，a，b，c，7成等差数列，所以b是－1和7的等差中项，即b＝＝3，同理a是－1和b的等差中项，c是b和7的等差中项，所以a＝＝1，c＝＝5，所以a，b，c的值分别是1，3，5. [规律方法] 等差中项的应用方法 (1)求两个数x，y的等差中项，根据等差中项的定义得A＝. (2)证明三项成等差数列，只需证明中间一项为其他两项的等差中项即可，即若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列．