(课件)4.4 数学归纳法-【精彩三年】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册课程探究与巩固教师用书word+课件PPT（人教A版，全国Ⅰ卷）

第四章 　数列 4.4*　数学归纳法 目录 CONTENTS 新教材·知本与思辨 新教材·拓展与应用 01 02 [课程目标] 1.了解数学归纳法的原理；2.掌握用数学归纳法证明问题的一般方法与步骤；3.能用数学归纳法证明一些数学命题． 新教材·知本与思辨 01 新教材·知本与思辨 知识点一　数学归纳法的定义 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当______________时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为______________． n＝k＋1 数学归纳法 新教材·知本与思辨 知识点二　数学归纳法的使用流程 新教材·知本与思辨 [研读]用数学归纳法证题的三个关键点 (1)验证是基础．第一个步骤是要找一个数n0，这个n0就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点． (2)递推是关键．数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项． 新教材·知本与思辨 (3)利用假设是核心．在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”时的情况，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法． 新教材·知本与思辨 【思辨】判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.(　　) (2)数学归纳法的两个步骤缺一不可．(　　) (3)与自然数n有关的问题都可以用数学归纳法来证明.(　　) (4)在利用数学归纳法证明问题时，只要推理过程正确，也可以不用进行假设．(　　) (5)用数学归纳法证明等式时，由n＝k到n＝k＋1，等式的项数一定增加了一项．(　　) × √ × × × 新教材·拓展与应用 02 类型一 用数学归纳法证明等式 类型一 用数学归纳法证明等式 类型一 用数学归纳法证明等式 [规律方法] 用数学归纳法证明等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端的项是如何变化的，即增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明当n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与所作假设建立联系，并向n＝k＋1时证明目标的表达式进行变形． 类型一 用数学归纳法证明等式 类型一 用数学归纳法证明等式 类型一 用数学归纳法证明等式 类型一 用数学归纳法证明等式 类型二 用数学归纳法证明不等式 类型二 用数学归纳法证明不等式 类型二 用数学归纳法证明不等式 [规律方法] 用数学归纳法证明不等式的注意事项 (1)在归纳递推证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明． (2)在推证“n＝k＋1时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩、变形，便于应用所作假设，变换出要证明的结论． 类型二 用数学归纳法证明不等式 类型二 用数学归纳法证明不等式 证明： (1)当n＝1时，21＋2>12，不等式成立； 当n＝2时，22＋2>22，不等式成立； 当n＝3时，23＋2>32，不等式成立． 类型二 用数学归纳法证明不等式 例3　求证：an+1＋(a＋1)2n-1能被a2＋a＋1整除(其中n∈N*，a∈R). 证明： (1)当n＝1时，a2＋(a＋1)1＝a2＋a＋1，显然能被a2＋a＋1整除，命题成立． 类型三 用数学归纳法证明整除问题 (2)假设当n＝k(k∈N*)时， ak+1＋(a＋1)2k-1能被a2＋a＋1整除． 则当n＝k＋1时， ak+2＋(a＋1)2k+1＝a·ak+1＋(a＋1)2(a＋1)2k-1 ＝a[ak+1＋(a＋1)2k-1]＋(a＋1)2(a＋1)2k-1－a(a＋1)2k-1 ＝a[ak+1＋(a＋1)2k-1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k-1， 上式能被a2＋a＋1整除， 即当n＝k＋1时，命题成立． 由(1)(2)知，对一切n∈N*，a∈R，命题都成立． 类型三 用数学归纳法证明整除问题 [规律方法] 证明整除问题的关键是凑项，即采取增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳递推使问