直线与圆、圆与圆的位置关系讲义-2024届高三数学一轮复习

直线与圆、圆与圆的位置关系 一、知识梳理 1.直线与圆的位置关系 设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ. 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d>r d＝r d<r 2.圆与圆的位置关系 已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r， 则圆心距d＝|C1C2|＝. 则两圆C1，C2有以下位置关系： 位置关系 外离 内含 相交 内切 外切 圆心距 与半径 的关系 d>r1＋r2 d<|r1－r2| |r1－2|<d<r1＋r2 d＝|r1－r2| d＝r1＋r2 图示 公切线条数 4 0 2 1 3 二、常用结论 1.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2.直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝·. 三、典例训练 一、单选题 1．（2023·安徽蚌埠·统考三模）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 2．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知，点P满足，直线，当点P到直线l的距离最大时，此时m的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·北京通州·统考三模）过直线上的一点作圆的两条切线，，切点分别为，当直线，关于对称时，线段的长为（    ） A．4 B． C． D．2 4．（2023·北京西城·北京师大附中校考模拟预测）已知动点在直线上，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 5．（2020上·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）过圆上一点作圆的两条切线，切点分别为，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 6．（2023·江西南昌·统考模拟预测）若直线与圆相交于两点，为坐标原点，则（    ） A． B．4 C． D．－4 7．（2023·广西北海·统考一模）已知圆：与：恰好有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（2021·江苏·高二专题练习）已知圆C过点，，直线m：平分圆C的面积，过点且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M，N，则（    ） A．圆心的坐标为 B．圆C的方程为 C．k的取值范围为 D．当时，弦MN的长为 9．（2022·湖北省直辖县级单位·湖北省天门中学校考模拟预测）已知直线，圆，M是l上一点，MA，MB分别是圆O的切线，则（    ） A．直线l与圆O相切 B．圆O上的点到直线l的距离的最小值为 C．存在点M，使 D．存在点M，使为等边三角形 10．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知圆与圆，下列说法正确的是（    ） A．与的公切线恰有4条 B．与相交弦的方程为 C．与相交弦的弦长为 D．若分别是圆上的动点，则 11．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）如图所示，该曲线W是由4个圆：，，，的一部分所构成，则下列叙述正确的是（    ）    A．曲线W围成的封闭图形面积为4+2π B．若圆与曲线W有8个交点，则 C．与的公切线方程为 D．曲线W上的点到直线的距离的最小值为4 三、填空题 12．（2023·全国·高三专题练习）已知圆：与圆：，若两圆相交于A，B两点，则 13．（2023·江西·校联考二模）已知圆，圆.请写出一条与两圆都相切的直线方程： . 四、解答题 14．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）已知抛物线，圆是上异于原点的一点. (1)设是上的一点，求的最小值； (2)过点作的两条切线分别交于两点（异于）.若，求点的坐标. 15．（2022·高二单元测试）已知圆，直线，当时，直线l与圆O恰好相切． (1)求圆O的方程； (2)若直线l上存在距离为2的两点M，N，在圆O上存在一点P，使得，