5.2.1三角函数的概念（第一课时）讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

§5.2.1三角函数的概念（第一课时） 【类型一】利用定义求三角函数值 在直角坐标系中，给定单位圆，对任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u，v)，那么点P的纵坐标v叫作角α的正弦函数，记作；点P的横坐标u叫作角α的余弦函数，记作．若用x表示角的大小，y表示函数值，这样我们就定义了任意角的三角函数y＝sinx，y＝cos x(x∈R)． 【例题】已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sin α和cos α的值． 答案解析：法一：由 得或. 即直线y＝2x与单位圆x2＋y2＝1的交点为P1(，)和P2(－，－)． 由正、余弦函数的定义知， 或 法二：当α的终边在第一象限时，取终边上一点P(1,2)． r＝|OP|＝＝，∴sin α＝＝＝， cos α＝＝＝. 当α的终边在第三象限时，同理可求得 sin α＝＝＝－， cos α＝＝＝－. 规律感悟：1．已知角α的终边在直线上，求α的三角函数值，常用的解题方法有以下两种 (1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值． (2)注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值sin α＝，余弦值cos α＝. 2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． ★举十反一★ 1.已知角的终边经过点P（－4a，3a）（a≠0），求sin，cos的值． 2.已知角的终边在直线上，求sin，cos的值． 3.已知角θ的终边上有一点P(，m)，且sinθ= ，求cosθ的值. 4.已知角θ的终边与函数y＝－2|x|的图像重合，求sinθ和cosθ的值． 5.已知角α的终边落在直线y＝－3x上，求2sinα＋3cosα的值． 6.已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ. 7.已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值． 8.已知角α的终边上一点P（-，m）（m≠0），且sin α=，求cos α，tan α的值． 9.已知角α的终边经过点（-8，-6），则cos α的值为 A． B． C． D． 10.若函数f(x)＝ax＋1－3(a>0，a≠1)的图象经过定点P，且点P在角θ的终边上，则tan θ的值等于(　　) A．2 B. C．－2 D．－ 【类型二】正弦函数、余弦函数符号的判定 【例题】确定下列各式的符号． (1)sin 100°·cos 240°；(2)sin(－π)·cos 3.6π. 答案解析：(1)∵100°是第二象限角，∴sin 100°>0， ∵240°是第三象限角，∴cos 240°<0，∴sin 100°·cos 240°<0. (2)∵－π＝－4π＋π即－π与π终边相同，而π为第三象限角，∴－π也为第三象限角，∴sin(－π)<0. 又∵3.6π＝4π－0.4π，即3.6π与－0.4π终边相同，而－0.4π为第四象限角， ∴3.6π为第四象限角，∴cos 3.6π>0，∴sin(－π)·cos 3.6π<0. 规律感悟：对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理． ★举十反一★ 1.判断下列三角函数值的符号． (1)sin4·cos4； (2)sin8·cos8. 2.确定下列三角函数值的符号． (1)sinπ；(2)cos(－925°)；(3)sin340°·cos265°. 3.判断下面各式的符号： (1)sin 105°·cos 230°；(2)sin ·cos ；(3)cos 6·sin 6. 4.判断下列各式的符号： (1)sin 145°cos(－210°)；(2)sin 3·cos 4·tan 5. 5.如果点P(sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 6.判断下列各式的符号： (1)tan 120°sin 269°； (2)cos 4tan. 7.若－＜α＜0，则点(tan α，cos α)位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C． 第三象限 D．第四象限 8.如果角θ的终边在第二象限，那么点P(sin θ，cos θ)位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9.当α为第二象限角时，－的值是(　　) A．－1 B．2 C．1 D．0 10.若角α满足sin α·cos α＜0，cos α－sin α＜0，则α在(　　)