（讲义）第7章 7.5 正态分布-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教A版)

7.5　正态分布 学习任务 1．利用实际问题的直方图，了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义．(直观想象) 2．了解变量落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小．(数学运算) 3．会用正态分布去解决实际问题．(逻辑推理) 自然界与工程技术中的随机变量是最常见的．诸如，机械加工中零件的几何尺寸(直径、长度、宽度、高度)、强度、重量、使用寿命这些变量都不具备离散型随机变量的特点．它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，这种变量如何构建适当的概率模型刻画随机变量的分布？ 知识点1　正态曲线 (1)连续型随机变量 大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量． (2)正态曲线的定义 我们称f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． (3)正态曲线的特点 ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交． ②曲线与x轴之间的面积为1． ③曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． ④曲线在x＝μ处达到峰值． ⑤当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． 知识点2　正态分布 (1)定义：若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． (2)若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2． (3)正态分布的特征 ①当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图1． ②当μ一定时，曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图2． (4)正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(Xx)为图中区域A的面积，而P(aXb)为区域B的面积． 知识点3　正态总体在三个特殊区间内取值的概率及3σ原则 (1)三个特殊区间内取值的概率 若X～N(μ，σ2)，则 P(μ－σXμ＋σ)≈0.6827， P(μ－2σXμ＋2σ)≈0.9545， P(μ－3σXμ＋3σ)≈0.9973． (2)3σ原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则． 对于正态分布X～N(μ，σ2)而言，随机变量X在[μ－3σ，μ＋3σ]之外取值几乎不可能发生，它在产品检查、质量检验中起着重要的作用． 1．(多选)以下关于正态密度曲线的说法中正确的有(　　) A．曲线都在x轴的上方，左右两侧与x轴无限接近，最终可与x轴相交 B．曲线关于直线x＝μ对称 C．曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状 D．曲线与x轴之间的面积为1 BCD　[A中正态密度曲线与x轴永远不相交，A错，其余均正确．] 2．(多选)已知三个正态密度函数φi(x)＝(x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．σ1＝σ2　　　　　　　　 B．μ1>μ3 C．μ1＝μ2　　　　 D．σ2<σ3 AD　[根据正态曲线关于直线x＝μ对称，且μ越大，图象越靠右， 可知μ1<μ2＝μ3，故B、C错误； 因为σ越小，数据越集中，图象越瘦高， 所以σ1＝σ2<σ3，故A、D正确．] 3．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(Xμ)＝________． 　[由于随机变量X～N(μ，σ2)，其正态密度曲线关于直线x＝μ对称，故P(Xμ)＝．] 类型1　正态曲线及性质 【例1】　(1)如图是一个正态曲线，总体随机变量的均值μ＝________，方差σ2＝________； (2)某正态密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，则总体落入区间[0，2]内的概率为________． (1)20　2　(2)0.47725　[(1)从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是， 所以μ＝20，，解得σ＝， 因此总体随机变量的均值μ＝20，方差σ2＝2＝2． (2)正态密度函数是f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)．若它是偶函数，则μ＝0． ∵f(x)的最大值为f(μ)＝，∴σ＝1， ∴P(0X2)＝P(－2X2)＝P(μ－2σXμ＋2σ)≈×0.9545＝0.47725．] 　利用正态曲线的性质求参数μ，σ (1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ． (2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此性质结合图象求σ． [跟进训练] 1．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩X(单位：分)服从正态分布，其正态密度函数为f(x)＝，则下列说法不正确的是(　　) A．这次考试的数学