（讲义）第7章 7.4 7.4.1 二项分布-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教A版)

7.4　二项分布与超几何分布 7.4.1　二项分布 学习任务 1．理解n重伯努利试验的概念．(数学抽象) 2．掌握二项分布的概率表达式．(数学抽象) 3．能利用伯努利试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．(数学运算、数据分析) 为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才启动的设备)．已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”(即一台正常设备，两台备用设备)的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.9，它们之间相互不影响，那么这个计算机网络不会断掉的概率是多少呢？ 知识点1　n重伯努利试验 (1)概念：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验． (2)我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． (3)n重伯努利试验的共同特征 ①同一个伯努利试验重复做n次； ②各次试验的结果相互独立． (1)每次试验结果只有两种，即事件要么发生，要么不发生． (2)每次试验在相同的条件下进行且各次试验中的事件互不影响． 1．“试验的结果相互独立”的含义是什么？ [提示]　每次试验的概率相同，不受上次试验结果的影响． 知识点2　二项分布 (1)二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． (2)二项分布的均值与方差 若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 2．二项分布与两点分布有什么关系？ [提示]　(1)两点分布的试验次数只有一次，试验结果只有两种：事件A发生(X＝1)或不发生(X＝0)；二项分布是指在n重伯努利试验中事件A发生的次数X的分布列，试验次数为n次(每次试验的结果也只有两种：事件A发生或不发生)，试验结果有n＋1种：事件A恰好发生0次，1次，2次，…，n次． (2)二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1的二项分布． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)n重伯努利试验每次试验之间是相互独立的． (　　) (2)n重伯努利试验只有发生与不发生两种结果． (　　) (3)n重伯努利试验中每次试验中发生的机会是均等的． (　　) (4)n重伯努利试验中每次试验发生的事件是互斥的． (　　) (5)两点分布属于二项分布． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√ 2．某射手射击1次，击中目标的概率为0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第三次击中目标的概率为0.9；②他恰好击中目标3次的概率为0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率为1－0.14． 其中正确结论的序号为__________． ①③　[在n重伯努利试验中，每次试验事件发生的概率都相等，故①正确； ②中恰好击中3次需要看哪3次击中，正确的概率应为×0.93×0.1，故错误； 利用对立事件求解，③正确．] 3．某班有的学生数学成绩优秀，如果从该班中随机抽出5名同学，设其中数学成绩优秀的学生数为X，那么E(2X＋1)等于__________． 　[依题意X～B， 则E(X)＝5×， ∴E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×．] 类型1　n重伯努利试验 　n重伯努利试验的判断 【例1】　判断下列试验是不是n重伯努利试验． (1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； (2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中； (3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球． [解]　(1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利试验． (2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验． (3)每次抽取时，球的个数不一样多，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是n重伯努利试验． 　n重伯努利试验的概率 【例2】　甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标相互之间没有影响． (1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率； (2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率． [解]　(1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击3次，相当于3重伯努利试验，故P(A1)＝1－P＝1－． (2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则P(A2)＝，P(B2)＝，由于甲、