（讲义）第7章 7.2 离散型随机变量及其分布列-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教A版)

7.2　离散型随机变量及其分布列 学习任务 1．借助教材实例，了解离散型随机变量及其分布列．(数学抽象) 2．了解离散型随机变量的性质、两点分布的概念．(数学抽象) 3．会求简单的离散型随机变量的分布列．(数学建模、数据分析) 在抛掷一枚骰子的试验中，正面向上的点数可以为“1，2，3，4，5，6”六种情况，每种情况的概率均为．为了用数学语言来清晰描述每个随机现象的规律，我们可以用“1”表示掷出1点，用“2”表示掷出2点……以此类推．那么所有随机现象的结果都可以用数字表示吗？这些数字又能否用一个变量来表示呢？ 知识点1　随机变量 (1)随机变量的概念 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． (2)随机变量的特点 ①取值依赖于样本点． ②所有可能取值是明确的． (3)随机变量的表示 通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z． (4)离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量． (5)离散型随机变量的特征 ①可用数值表示； ②试验之前可以判断其出现的所有值； ③在试验之前不能确定取何值； ④试验结果能一一列出． (1)所谓随机变量，就是随机试验的试验结果与实数之间的一种对应关系，这种对应关系是人为建立起来，但又是客观存在的． (2)随机试验的结果可用数量来表示，有些随机试验的结果虽然不是数量，但可以将它数量化，如抛一枚硬币，所有可能的结果是“正面向上”“反面向上”，在数学中可以用“1”代表正面向上，用“0”代表反面向上． 1．随机变量与函数有类似的地方吗？ [提示]　随机变量和函数都是一种对应关系，随机变量把样本点与实数对应，函数把实数与实数对应，由随机变量的定义知，样本点ω相当于函数定义中的自变量，样本空间Ω相当于函数的定义域． 知识点2　概率分布列 (1)概念 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． (2)表示 离散型随机变量的分布列可以用表格或图形表示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (3)性质 ①pi0，i＝1，2，…，n． ②p1＋p2＋…＋pn＝1． 对分布列的理解应注意的问题 (1)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象，与函数的表示法一样，离散型随机变量的分布列也可以用表格、等式P(X＝xi)＝pi和图象表示． (2)离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且也能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布状况，是进一步研究随机变量数字特征的基础． 2．求离散型随机变量的分布列的步骤是什么？ [提示]　求离散型随机变量的分布列的步骤： (1)找出随机变量X所有可能的取值xi(i＝1，2，3，…，n)． (2)求出相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，3，…，n)． (3)列成表格形式． 知识点3　两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝ 如果P(A)＝p，则P＝1－p，那么X的分布列如表所示． X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0—1分布． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个． (　　) (2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量． (　　) (3)试验之前可以判断离散型随机变量的所有值． (　　) (4)两点分布中只有两个结果，且两个结果是对立的． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用X表示甲的得分，则{X＝3}表示(　　) A．甲赢三局 B．甲赢一局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 D　[由题意得{X＝3}有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．] 3．下列四个选项： ①某机场候机室中一天的旅客数量X； ②连续投掷一枚均匀硬币4次，正面向上的次数X； ③某篮球下降过程中离地面的距离X； ④某道路斑马线一天经过的人数X． 其中不是离散型随机变量的是(　　) A．①中的X　　　　 B．②中的X C．③中的X　　　　 D．④中的X C　[①、②、④中的随机变量X可能取的值，我们都可以按一定次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；③中的X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故③中的X不是离散型随机变量．] 4．若P(X>0)＝0.3，