（讲义）第7章 7.1 7.1.2 全概率公式-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教A版)

7.1.2　全概率公式 学习 任务 1．了解利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式．(数学抽象) 2．理解全概率公式，会用全概率公式计算概率．(数学运算) 3．了解贝叶斯公式，并会简单应用．(数学抽象、数学运算) 学校的“我为祖国献计献策”演讲比赛共有20名同学参加，学校决定让参赛选手通过抽签决定出场顺序．不过，张明对抽签的公平性提出了质疑，他的理由是，如果第一个人抽的出场顺序是1号，那么其他人就抽不到1号了，所以每个人抽到1号的概率不一样．张明的想法正确吗？特别地，第一个抽签的人抽到1号的概率与第二个抽签的人抽到1号的概率是否相等？为什么？ 知识点1　全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，3，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝ (1)全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用了化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和． (2)全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋…＋P(AnB)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An)． *知识点2　贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有 P(Ai|B)＝＝，i＝1，2，…，n． 1．已知P(BA)＝0.4，P＝0.2，则P(B)的值为________． 0.6　[由P(BA)＝P(A)P＝P 得P(B)＝P(A)PP ＝P(BA)＋P＝0.4＋0.2＝0.6．] 2．已知P(B1)＝0.4，P(B2)＝0.4，P(B3)＝0.2，且B1，B2，B3互斥，P(A|B1)＝0.9，P(A|B2)＝0.8，P(A|B3)＝0.7，则P(A)＝________． 0.82　[P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝0.4×0.9＋0.4×0.8＋0.2×0.7＝0.82．] 3．设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为________． 0.8　[设公路上经过的车为货车是事件A，经过的车是客车为事件B，车需要修理为事件C，且P(A)＝，P(B)＝＝0.02，P(C|B)＝0.01， 所以P(A|C)＝＝＝0.8．] 类型1　两个事件的全概率问题 【例1】　(源自人教B版教材)某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占．求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率． [解]　如果用A与分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的，B表示是女生．则根据已知，有P(A)＝，P＝， 而且P(B|A)＝，P＝． 题目所要求的是P(B)． 由全概率公式可知P(B)＝P(A)PP＝． 　两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成对立的两部分如A1，A2(或A与)； (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率； (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)． [跟进训练] 1．(源自北师大版教材)采购员要购买某种电器元件一包(10个)．他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如这3个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有4个次品的包数占30%，而其余包中各含1个次品，求采购员随机挑选一包拒绝购买的概率． [解]　设事件B1表示“取到的是含有4个次品的包”，事件B2表示“取到的是含有1个次品的包”，事件A表示“采购员拒绝购买”，则P(B1)＝＝．又由古典概型计算概率的公式，可知 P(A|B1)＝1－， P(A|B2)＝1－． 从而由全概率公式，可知 P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝＝． 因此，采购员随机挑选一包拒绝购买的概率为． 类型2　多个事件的全概率问题 【例2】　甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7．飞机被一人击中且击落的概率为0.2，被两人击中且击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率． [解]　设事件A表示“飞机被击落”，事件Bi表示“飞机被i人击中”(i＝0，1，2，3)，依题意，P(A|B0)＝0，P(A|B1)＝0.2，P(A|B2)＝0.6，P(A|B3)＝1．再设事件Hi表示“飞机被第i人击中”(i＝1，2，3)． 则P(B1)＝P(H1∪H2∪H3) ＝0.4×0.5×0.3＋0.