（讲义）第7章 7.1 7.1.1 条件概率-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教A版)

7.1　条件概率与全概率公式 7.1.1　条件概率 学习任务 1．结合古典概型，了解条件概率的定义．(数学抽象) 2．掌握条件概率的两种计算方法．(数学运算) 3．利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．(数学建模、数学运算) 金融投资公司的员工经常需要计算不同投资环境下获利的概率，因此金融投资公司在招聘新员工时，通常会考查应聘人员计算概率的能力．以下是某金融投资公司的一道笔试题，你会做吗？ 从生物学中我们知道，生男、生女的概率基本是相等的，都可以近似地认为是．如果某个家庭中先后生了两个小孩： (1)当已知较大的小孩是女孩的条件下，较小的小孩是男孩的概率为多少？ (2)当已知两个小孩中有女孩的条件下，两个小孩中有男孩的概率为多少？ 知识点1　条件概率的概念 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．P(B|A)读作事件A发生的条件下事件B发生的概率． (1)如果事件A发生会影响事件B发生的概率，那么P(B)≠P(B|A)； (2)P(B|A)与P(A|B)意义不同，由条件概率的定义可知P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率；而P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率． 知识点2　乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．我们称此式为概率的乘法公式． 知识点3　条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质，设P(A)>0，则 (1)0P(B|A)1； (2)P(Ω|A)＝1； (3)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (4)设和B互为对立事件，则P＝1－P(B|A)． (5)若事件A，B独立，P(AB)＝P(A)P(B)且P(A)>0，则P(B|A)＝P(B)，反之若P(B|A)＝P(B)且P(A)>0，则A与B相互独立． (1)P(B|A)与P(AB)有何区别？ (2)若事件A，B互斥，则P(B|A)是多少？ [提示]　(1)P(B|A)的值是事件AB发生相对于事件A发生的概率的大小；而P(AB)是事件AB发生相对于原来的总空间而言，一般来说，P(B|A)≠P(AB)． (2)A与B互斥，即A，B不同时发生，则P(AB)＝0，故P(B|A)＝0． 1．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)＝________． 由P(B|A)＝得P(AB)＝P(B|A)·P(A)， 因为P(B|A)＝，P(A)=，所以P(AB)＝] 2．已知P(AB)＝，P(A)＝＝________． 　由公式得P(B|A)＝=] 3．若B，C是互斥事件且P(B|A)＝＝＝________． ] 类型1　求条件概率 　利用定义求条件概率 【例1】　现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率． [解]　设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB． (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数n(Ω)＝＝30． 根据分步乘法计数原理，有n(A)＝＝20， 所以P(A)＝． (2)因为n(AB)＝＝12，所以P(AB)＝． (3)法一：由(1)(2)得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P(B|A)＝． 法二：因为n(AB)＝12，n(A)＝20， 所以P(B|A)＝． [母题探究] (变设问)本例条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率． [解]　设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到语言类节目”为事件C，则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件AC． P(A)＝，P(AC)＝， 所以P(C|A)＝． 　利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A)． (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． [跟进训练] 1．(源自人教B版教材)已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为20%与18%，且两地同时下雨的概率为12%．求春季的一天里： (1)已知甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率； (2)已知乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率． [解]　记A：甲地下雨，B：乙地下雨，则由已知可得 P(A)＝20%，P(B)＝18%，P(AB)＝12%． (1)P(B|A)＝． (2)P(A|B)＝． 　缩小样本空间求条件概率 【例2