（讲义）第6章 微专题1 分组与分配问题的破解之术-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教A版)

微专题1　分组与分配问题的破解之术 解决分组与分配问题的关键是区分是否与顺序有关，一般按先分组后分配的原则计算． 1．分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： (1)完全均匀分组，每组的元素个数均相等． (2)部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀分组，最后必须除以n！． (3)完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． 2．分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配． 类型1　定向分配问题 【例1】　6本不同的书，分给甲、乙、丙3人，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)甲2本，乙2本，丙2本； (2)甲1本，乙2本，丙3本； (3)甲4本，乙、丙每人1本． [解]　(1)第一步，从6本不同的书中选2本书分配给甲，有种方法； 第二步，从剩下的4本不同的书中选2本分配给乙，有种方法； 第三步，剩下的2本不同的书全给丙，有种方法． 根据分步乘法计数原理知，共有＝90(种)不同的分配方法． (2)第一步，从6本不同的书中选1本书分配给甲，有种方法； 第二步，从剩下的5本不同的书中选2本书分配给乙，有种方法； 第三步，剩下的3本不同的书全给丙，有种方法． 根据分步乘法计数原理知，共有＝60(种)不同的分配方法． (3)第一步，从6本不同的书中选4本书分配给甲，有种方法； 第二步，从剩下的2本不同的书中选1本书分配给乙，有种方法； 第三步，剩下的1本书给丙，有种方法． 根据分步乘法计数原理知，共有＝30(种)不同的分配方法． 　解决定向分配问题的方法有“边分组边分配”或“先分组后分配”． 类型2　不定向分配问题 【例2】　6本不同的书，分给甲、乙、丙3人，在下列条件下各有多少种不同的分组方法？ (1)每人2本； (2)一人1本，一人2本，一人3本； (3)一人4本，其余2人每人1本． [解]　(1)法一：本题为平均分组，并且有分配对象，先分组(与顺序无关)，有种方法； 再分配给3个人(与顺序有关)，有种排列． 共有种不同的分配方法，所以有＝90(种)． 法二：先从6本书中选2本给甲，有种选法； 再从其余的4本书中选2本给乙，有种选法； 最后从余下的2本书中选2本给丙，有种选法． 所以根据分步乘法计数原理得，每人2本，共有＝90(种)． (2)先分组，再分配，与顺序有关，需排序． 6本书分成三组共有种分法，但每一种分法又有种不同的分配方案， 故一人1本，一人2本，一人3本的分法有＝360(种)． (3)法一：从6本不同的书中选出4本，有种方法． 将选出的4本书看成一个元素集团，与其余2本书(两个元素)分配给甲、乙、丙三人有种方法． 由分步乘法计数原理，共有＝15×6＝90(种)不同分法． 法二：先分组，再分配，与顺序有关．先分成三份，为部分平均分组问题，共有种分法，然后分给3个人，则共有＝90(种)分法． 　不定向分配问题，解题原则是“先分组后分配”．属于“排列”问题，要按排列问题求解． 类型3　不同元素的分组问题 【例3】　6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组2本(平均分组)； (2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)； (3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组)． [解]　(1)每组2本，均分为3组的分组种数为＝15． (2)一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为＝20×3＝60． (3)一组4本，另外两组各1本的分组种数为＝15． 　(1)分清是分组问题还是分配问题很必要，而判断是分组问题还是分配问题的关键是看是否有分配对象．若没有分配对象，则为分组问题；若有分配对象，则为分配问题；若有确定的分配对象，即为定向分配问题．反之，则为不定向分配问题． (2)分组问题属于“组合”问题，常见的三种分组问题 ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等． ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！． ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． 类型4　相同元素的分配问题 【例4】　将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列方法的种数． (1)每个盒子都不空； (2)恰有一个空盒子； (3)恰有两个空盒子． [解]　(1)先把6个相同的小球排成一行， 然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板， 故共有＝10(种)放法． (2)法一：恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法， 第二步在小球之间5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板． 由分步乘法计数原理得，共有＝40(种)放法． 法二：恰有一个空盒子，插板分两步进行． 先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如种插法， 然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如种插法， 故共有＝40(种)放法． (3)法一：分两步完成，