（讲义）第6章 探究课1 子集的个数有多少-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教A版)

　子集的个数有多少 1．n元集合A＝{a1，a2，…，an}的子集有2n个． 2．推广 (1)n元集合A＝{a1，a2，…，an}的真子集有2n－1个． (2)n元集合A＝{a1，a2，…，an}的非空子集有2n－1个． (3)n元集合A＝{a1，a2，…，an}的非空真子集有2n－2个． 【典例】　称子集A⊆M＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11}是“好的”，如果它有下述性质：“若2k∈A，则2k－1∈A且2k＋1∈A(k∈N)”(空集和M都是“好的”)，则M中有多少个包含2个偶数的“好的”子集？ [解]　含有2个偶数的“好的”子集A，有两种不同的情形： ①两偶数是相邻的，有4种可能：2，4；4，6；6，8；8，10． 每种情况必有3个奇数相随(如2，4∈A，则1，3，5∈A)． 余下的3个奇数可能在A中，也可能不在A中， 故这样的“好的”子集共有4×23＝32(个)． ②两偶数不相邻，有6种可能：2，6；2，8；2，10；4，8；4，10；6，10． 每种情况必有4个奇数相随(如2，6∈A，则1，3，5，7∈A)． 余下的2个奇数可能在A中，也可能不在A中， 故这样的“好的”子集共有6×22＝24(个)． 综上所述，M中有32＋24＝56(个)包含2个偶数的“好的”子集． 1．已知集合M＝{1，2，3，4}，集合A，B为集合M的非空子集，若∀x∈A，y∈B，x<y恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有________个． 17　[当A＝{1}时，B有23－1＝7(种)情况； 当A＝{2}时，B有22－1＝3(种)情况；当A＝{3}时，B有1种情况；当A＝{1，2}时，B有22－1＝3(种)情况；当A＝{1，3}，{2，3}，{1，2，3}时，B均有1种情况，所以集合M的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋3＝17(个)．] 2．设集合I＝{1，2，3，4，5}，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有多少种？ [解]　以A中最大的数为标准，进行分类讨论．A中最大的数可能为1，2，3，4，共四种情况． 按分类加法计数原理做如下讨论： ①当A中最大的数为1时，B可以是{2，3，4，5}的非空子集，即有24－1＝15(种)方法． ②当A中最大的数为2时，A可以是{2}或{1，2}，B可以是{3，4，5}的非空子集，即有2×(23－1)＝14(种)方法． ③当A中最大的数为3时，A可以是{3}，{1，3},{2，3},{1，2，3}，B可以是{4，5}的非空子集，即有4×(22－1)＝12(种)方法． ④当A中最大的数为4时，A可以是{4}，{1，4}，{2，4}，{3，4}，{1，2，4}，{1，3，4},{2，3，4}，{1，2，3，4}，B可以是{5}，即有8×1＝8(种)方法． 故共有15＋14＋12＋8＝49(种)方法． 2/2 学科网（北京）股份有限公司 $$