（讲义）第6章 数学探究 杨辉三角的性质与应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教A版)

数学探究　杨辉三角的性质与应用 学习 任务 1．经历发现数学关联、提出数学问题、得到数学结论、推理论证、综合应用的过程，掌握数学探究活动的方法，提升数学学科核心素养． 2．经历从类比模仿到自主创新、从局部实施到整体构想的过程，初步掌握数学课题研究的基本方法． 杨辉三角是我国数学史上的一个伟大成就，从数学角度体现了中华优秀传统文化．阅读《详解九章算法》一书中的开方作法本源图，如图，其中蕴藏着许多数学的奥秘． 此图为开方作法本源图，现在杨辉算书的传本中都没有这个图，只在明朝《永乐大典》(1407)抄录的《详解九章算法》中还保存着这份宝贵遗产．《详解九章算法》由杨辉所著，他在书中提到“出释锁算书，贾宪用此术”．这说明，在我国至迟贾宪时期就已经发明了这个数字三角形．关于贾宪的生平，所知甚少．根据一些记载，只能推定贾宪著书的年代是在1023年至1050年这段时期． 知识点　杨辉三角的性质 1．如图所示，结合杨辉三角与二项式(a＋b)n的展开式的二项式系数可发现如下性质： 第n行的n＋1个数是二项式(a＋b)n的展开式的系数； 当行数n为偶数时最大； 当行数n为奇数时和最大． 2．杨辉三角中各数字之间存在的性质 (1)对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即＝，如图1． (2)递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即＝＋． (3)第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即＋＋＋…＝＋＋＋…，如图2． (4)第n行数的和为2n，即＋＋＋…＋＝2n，如图3． (5)第n行各数平方和等于第2n行中间的数，即2＋2＋2＋…＋2＝，如图4． 1．下面是当n＝1，2，3，4，5时，(a＋b)n(n∈N*)的展开式的二项式系数表示图． 借助上图，判断λ，μ的值分别是(　　) A．5，9　　　　　B．5，10　　　　　C．6，9　　　　　D．6，10 D　[观察题图可分析出“杨辉三角”中的数的特点如下： (1)每一行有(n＋1)个数字，每一行两端的数字均为1； (2)从第二行起，每一行中间的数字等于它上一行对应(即两肩上)的两个数字的和， 即＝＋，n，m∈N*． 所以λ＝3＋3＝6，μ＝4＋λ＝10．故选D．] 2．如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于(　　) A．20　　　　　　 B．21 C．22　　　　　　 D．23 C　[观察题图可知，从第三行开始，每一行除开始和末尾的两个数外，中间的数分别是其两肩上相邻两个数的和，当a＝7时，b的两肩上的两个数分别为6，16，所以b＝6＋16＝22．] 【例】　(多选)我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中给出了著名的杨辉三角，以下关于杨辉三角的猜想中正确的有(　　) A．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和”猜想：＝＋ B．＋＋＋…＋＝165 C．第34行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3 D．由“第n行所有数之和为2n”猜想：＋＋＋…＋＝2n ACD　[对于A：显然＝＋，故A正确； 对于B：＋＋＋…＋＝＋＋＋＋…＋－1＝－1＝164，故B错误； 对于C：易知第n行从左到右第k个数是，则第34行从左到右第14与第15个数分别为，所以，故C正确； 对于D：第n行所有数之和为2n，即＋＋＋…＋＝2n，故D正确．故选ACD．] 　解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 (1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察． (2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律． (3)将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解． [跟进训练] 杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开的系数规律．现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，记作数列{an}．若数列{an}的前n项和为Sn，则S47等于(　　) A．235　　　　　 B．512 C．521　 D．1033 C　[根据题意杨辉三角前9行共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45(项)．故前47项的和为杨辉三角前9行的和再加第10行的前两个数1和9，所以前47项的和S47＝20＋21＋22＋…＋28＋1＋9＝29－1＋10＝521．] 课时分层作业(十)　数学探究　杨辉三角的性质与应用 一、选择题 1．观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是(　　) A．8　　　B．6　　　C．4　　　D．2 B　[由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，即a＝6．] 2．如图所示，在由二项式系数构成的杨辉三角中，第m行从左到右第14个数与第1