（讲义）第6章 章末综合提升-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教A版)

类型1　两个计数原理 1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章内容的学习基础，在进行计数过程中，常因分类不明导致增(漏)解，因此在解题中既要保证类与类的互斥性，又要关注总数的完备性． 2．掌握两个计数原理，提升逻辑推理和数学运算素养． 【例1】　(1)有2辆不同的红色车和2辆不同的黑色车要停放在如图所示的六个车位中的四个内，要求相同颜色的车不在同一行也不在同一列，则共有________种不同的停放方法．(用数字作答) A B C D E F (2)某公司安排甲、乙、丙等7人完成7天的值班任务，每人负责一天，已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，则不同的安排方式有________种． (1)72　(2)1128　　[(1)因为要求相同颜色的车不在同一行也不在同一列，所以第一行只能停放一辆红色车与一辆黑色车，共有2×2×6种停法，再在第二行分类讨论停放剩下的车，第二辆红车如果停在第一辆黑车下方，则第二辆黑车有2种方法，第二辆红车如果不停在第一辆黑车下方，则第二辆黑车有1种方法，共有3种情况，因此共有3×2×2×6＝72(种)情况． (2)以甲、丙的位置分三类． 第一类：甲、丙相邻且安排在第一、二天，由于甲不安排在第一天，则丙安排在第一天，甲安排在第二天，其余5人有种排法． 第二类：甲、丙相邻且安排在第二、三天，则有种排法． 第三类：甲、丙相邻且安排在第三天及以后，则甲、丙相邻有种排法，乙有4种排法，其余4人有种排法，所以共有种排法． 根据分类加法计数原理知，满足条件的安排方式共有＋＝1128(种)．] 类型2　排列与组合的综合应用 1．排列、组合是两类特殊的计数求解方式，在计数原理求解中起着举足轻重的作用，解决排列与组合的综合问题要树立先选后排，特殊元素(特殊位置)优先的原则． 2．明确排列和组合的运算，重点提升数学建模及数学运算素养． 【例2】　在高二(1)班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目． (1)当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？ (2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？ (3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？ [解]　(1)第一步，先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有＝5040(种)方法； 第二步，再松绑，给4个舞蹈节目排序，有＝24(种)方法． 由分步乘法计数原理，共有5040×24＝120960(种)排法． (2)第一步，将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，一共有＝720(种)方法； ×□×□×□×□×□×□× 第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个演唱节目中间，有种方法． 由分步乘法计数原理，共有＝604800(种)排法． (3)若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除， 所以节目演出的顺序有＝＝132(种)． 类型3　二项式定理的应用 1．二项式定理是计数原理的重要内容之一，是高考的热点．一般以选择、填空的形式考查，试题难度为易，常从以下几个方面考查： (1)考查二项展开式的通项Tk＋1＝an－kbk，可以考查某一项，也可考查某项的系数． (2)考查各项系数和，二项式系数和． (3)考查二项式定理的综合应用，考查对二项式定理的掌握和灵活运用． 2．通过二项式定理的应用，提升数学运算素养． 【例3】　已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3． (1)求展开式中的所有有理项； (2)求展开式中系数的绝对值最大的项； (3)求n＋的值； (4)求(1－x)3＋(1－x)4＋…＋(1－x)n的展开式中含x2的项的系数． [解]　(1)由(－2)2＝56∶3， 解得n＝10(负值舍去), 通项为Tk＋1＝10-k ＝， 当5－为整数时，k可取0，6， 于是有理项为T1＝x5和T7＝13440． (2)设第k＋1项系数的绝对值最大， 则 解得，又因为k∈N，所以k＝7，当k＝7时，T8＝， 所以系数的绝对值最大的项为 T8＝． (3)原式＝10＋ ＝ ＝ ＝． (4)∵＋＝， ∴＝－， ∴x2项的系数为＋＋…＋＋…＋() ＝－＝164． 章末综合测评(一)　计数原理 (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知自然数x满足，则x＝(　　) A．2　　　B．3　　　C．4　　　D．5 C　[∵自然数x满足，∴3(x＋1)x(x－1)＝2(x＋2)(x＋1)＋6(x＋1)x，整理得3x2－11x－4＝0，解得x＝－(舍)或x＝4，∴x＝4．