（讲义）第6章 6.3 6.3.1 二项式定理-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教A版)

6.3　二项式定理 6.3.1　二项式定理 学习 任务 1．能用计数原理证明二项式定理．(数学抽象) 2．掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式．(数学运算) 3．能解决与二项式定理有关的简单问题．(逻辑推理、数学运算) 我们知道 (a＋b)1＝a＋b， (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， 而且 (a＋b)3　　 　 ＝(a＋b)2(a＋b) 　 ＝(a2＋2ab＋b2)(a＋b) 　 ＝a3＋a2b＋2a2b＋2ab2＋b2a＋b3 　 ＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3． 容易看到，上述得到(a＋b)3的展开式的过程是烦琐的，如果要用这样的方法去得到(a＋b)10，(a＋b)20等的展开式是很麻烦的．那么我们有没有其他办法来得出(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3呢？ 知识点1　二项式定理 (a＋b)n＝an＋an-1b1＋…＋an－kbk＋…＋，n∈N*． (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数． (1)次数：各项的次数和都等于二项式的次数n； (2)顺序：字母a按降幂排列，次数由n递减到0，字母b按升幂排列，次数由0递增到n． 知识点2　二项展开式的通项公式 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝． 二项式定理中，项的系数与二项式系数相同吗，为什么？ [提示]　二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)(a＋b)n展开式中共有n项． (　　) (2)在二项式定理公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响． (　　) an－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项． (　　) (4)(a－b)n与(a＋b)n的二项展开式的二项式系数相同． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(x＋y)n的展开式共有10项，则n等于________． 9　[因为(a＋b)n的展开式共有n＋1项，所以n＋1＝10，n＝9．] 3．(y－2x)8的展开式中第6项的二项式系数为________．(用数字表示) 56　[由题意可知，Tk＋1＝y8-k(－2x)k＝ 当k＝5时，二项式系数为＝＝56．] 4．(x＋2)6的展开式中x3的系数是________．(用数字作答) 160　[(x＋2)6的展开式的通项公式为Tk＋1＝2kx6-k， 令6－k＝3，可得k＝3，故展开式中x3的系数是23＝160．] 类型1　二项式定理的正用、逆用 【例1】　的值为(　　) A．1　　　B．－1　　　C．(－1)n　　　D．3n (2)求的展开式． (1)C　[＋…＋＝[1＋(－2)]n＝(1－2)n＝(－1)n．] (2)[解]　法一：)2． 法二：＝(2x－1)4 ＝(16x4－32x3＋24x2－8x＋1) ＝x2－2x＋． 　运用二项式定理的解题策略 (1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开． (2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数． [跟进训练] 1．求的展开式． [解]　＝(2x)5＋(2x)4＋(2x)3＋(2x)2(2x)1＋ ＝32x5－120x2＋． 2．化简：(x＋1)n－(x＋1)n-1＋(n＋1)n-2－…＋(x＋1)n－k＋…＋． [解]　原式＝(－1)2＋…＋(x＋1)n－k(－1)k＋…＋(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn． 类型2　二项展开式通项的应用 　项的系数与二项式系数 【例2】　(源自湘教版教材)计算(x＋2y)9的展开式中第5项的系数和二项式系数． [解]　(x＋2y)9的展开式的第5项是 T5＝T4＋1＝x9-4(2y)4＝24x5y4， 所以展开式中第5项的系数是24＝2016，第5项的二项式系数是＝126． 　求某项的二项式系数、系数或展开式中含xk的项的系数，主要是利用通项公式求出相应的项，特别要注意某项二项式系数与系数两者之间的区别． 　求展开式中的特定项 【例3】　已知展开式中第3项的系数比第2项的系数大162． (1)求n的值； (2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数． [解]　(1)因为T3＝n-2， T2＝n-1， 依题意