（讲义）第6章 6.3 6.3.2 二项式系数的性质-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教A版)

6.3.2　二项式系数的性质 学习 任务 1．理解二项式系数的性质并灵活运用．(数学运算) 2．掌握“赋值”法并会灵活应用．(数学抽象) 我国古代数学的许多创新和发展都位于世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释(a＋b)n的展开式的各项系数． 观察上图，你发现上下两行有什么关系？你能发现其他规律吗？ 知识点　二项式系数的性质 (1)对称性：在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即＝＝＝． (2)增减性与最大值：当k＜时，二项式系数随k的增加而增大．由对称性知，当k>时随k的增加而减小，且在中间取得最大值．当n是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数与相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和 ①＋＋＋…＋＝2n； ②＋＋＋…＝＋＋＋…＝2n-1． (a＋b)n的展开式的各二项式系数的和与a，b的值无关，因此可在展开式中令a＝1，b＝1得到． 二项式的系数取得最大值的项的系数一定是系数中最大的吗？ [提示]　不一定．如果项的系数中还有其他的常数，则该项的系数不一定最大． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)二项展开式的二项式系数和为＋＋…＋． (　　) (2)二项展开式中项的系数是先增后减的． (　　) (3)(3x＋2)5的展开式的二项式系数和为25＝32． (　　) (4)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则n等于________． 10　[由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，所以＝，由组合数的性质，得n＝10．] 3．在(a＋b)n的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则n等于________． 10　[在(a＋b)n的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，即中间项的二项式系数最大，所以＋1＝6，解得n＝10．] 4．(2x－1)6的展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数的和为________． 1　64　[令x＝1，得各项系数的和为1；各二项式系数之和为26＝64．] 类型1　求展开式的系数和 【例1】　已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7． 计算：(1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|． [解]　令x＝1，则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1， ① 令x＝－1，则 a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37． ② (1)令x＝0得a0＝1， ∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2． (2)由(①－②)÷2，得 a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1094． (3)法一：(1－2x)7的展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7不大于零， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7) ＝1093＋1094＝2187． 法二：∵|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|是(1＋2x)7展开式中各项的系数和， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2187． [母题探究] (变设问)在本例条件不变的情况下，求下列各项的值． (1)a2＋a4＋a6； (2)a1＋2a2＋3a3＋…＋7a7． [解]　(1)由 得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝37－1， ∴a0＋a2＋a4＋a6＝． ∵a0＝＝1， ∴a2＋a4＋a6＝－1＝1092． (2)∵(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7， ∴两边分别求导得 －14(1－2x)6＝a1＋2a2x＋…＋7a7x6， 令x＝1，得－14＝a1＋2a2＋…＋7a7， ∴a1＋2a2＋…＋7a7＝－14． 　二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝． [跟进训练] 1．已知(x＋1)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023，则a0＋a1＋a2＋…＋a1011＝(　　) A．22023　　　B．22022　　　C．21011　　　D．210