（讲义）第6章 6.2 6.2.3 6.2.4 第1课时 组合与组合数公式-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教A版)

6.2.3　组合 6.2.4　组合数 第1课时　组合与组合数公式 学习任务 1．理解组合的概念，正确认识组合与排列的区别与联系．(数学抽象) 2．掌握组合数公式，并会应用公式求值．(数学运算) 高考不分文理科后，思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6大科目是选考的，如果考生可以从中任选3科作为自己的高考科目，那么选考的组合方式一共有多少种可能的情况呢？ 如果用{思想政治，历史，地理}表示其中一种选考的组合，你能用类似的方法表示出所有的组合方式吗？你有更简单的表示方法吗？ 知识点1　组合的概念 一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 1．怎样理解组合，它与排列有何区别？ [提示]　(1)组合要求n个元素是不同的，被取的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． (2)取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置的要求，无序性是组合的特点． (3)辨别一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则就是组合问题． 知识点2　组合数及组合数公式 1．组合数的概念 从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示． 2．组合数公式 乘积式： ＝(n，m∈N*，并且mn)． 阶乘式：＝(n，m∈N*，并且mn)． 规定：＝1． 2．“组合”与“组合数”是同一概念吗？它们有什么区别？ [提示]　“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是指“从n个不同的元素中取出m(mn)个元素作为一组”，它不是一个数，而是具体的一组对象；组合数是指“从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数． 1．(多选)下列选项是组合问题的是(　　) A．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学去参加两个社区的人口普查，有多少种不同的选法 B．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学，有多少种不同的选法 C．3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法 D．4本相同的书分给4名同学，每人一本，有多少种分配方法 BD　[AC与顺序有关，是排列问题，BD与顺序无关，是组合问题．] ．＝________；－＝________． (1)15　(2)9　[＝15． －＝12－3＝9．] 3．已知a，b，c，d这四个元素，则每次取出2个元素的所有组合为________． ab，ac，ad，bc，bd，cd　[可按a→b→c→d顺序写出，即 所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd．] 类型1　组合的概念 【例1】　判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？ (2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？ (3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？ (4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？ [解]　(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． (2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题． (3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题． (4)3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题． 　判断一个问题是不是组合问题的方法技巧 区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，与顺序有关即为排列问题，与顺序无关为组合问题． [跟进训练] 1．判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？ (2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？ (3)2023年元旦期间，某班10名同学互送贺年卡，表示新年的祝福，贺年卡共有多少张？ [解]　(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题． (2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题；但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题． (3)甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺序有关，是排列问题． 类型2　列举具体问题的组合 【例2】　(源自湘教版教材)平面上有5个不同的点A，B，C，D，E，以其中两个点为端点的线段共有多少条？ [解]　如图所示，以A为端点，到其余四点的线段有4条：AB，AC，AD，AE． A不是端点，以B为端点之一，到其余三点的线段有3条：BC，BD，BE； A，B都不是端点，C为端点之一，到其余两点的线段有2条：CD，CE； A，B，C都不是端点，剩下两点D，E为端点的线段只有1条：DE． 共有4＋3＋2＋1＝10(条)不同的线段． 　写组合时，一般先将