（讲义）第6章 6.2 6.2.2 第2课时 排列的综合应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教A版)

第2课时　排列的综合应用 学习任务 1．掌握几种有限制条件的排列．(逻辑推理) 2．能应用排列知识解决简单的实际问题．(数学运算、数学建模) 类型1　数字排列问题 【例1】　用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的整数，求满足下列条件的数各有多少个． (1)六位奇数； (2)个位数字不是5的六位数； (3)不大于4310的四位偶数． [思路导引]　→ [解]　(1)法一(特殊位置分析法)：如图， 从个位入手：个位排奇数，即从1，3，5中选1个有种方法，首位数从排除0及个位数余下的4个数字中选1个有种方法，余下的数字可在其他位置全排列有种方法， 由分步乘法计数原理可得，共有＝288(个)不同的六位奇数． 法二(特殊元素分析法)：0不在两端有种排法．从1，3，5中选1个排在个位，剩下的4个数字全排列．故所排六位奇数共有＝288(个)． 法三(排除法)：从整体上排除：6个数字的全排列有种排法．0，2，4在个位上有种排法，而1，3，5在个位上且0在首位上有种排法．故符合条件的六位数有＝288(个)． 法四(排除法)：从局部上排除：个位上任选一个奇数，有种排法，其余各位上任意排，有种排法，共有种排法．其中，首位是0的情况有种，故符合条件的六位数有－＝288(个)． (2)法一(排除法)：0在首位和5在个位时均不符合题意，故符合题意的六位数共有＋＝504(个)． 法二(特殊位置分析法)：如图，个位不排5时，分两类： 第1类，当个位排0时，有个； 第2类，当个位不排0时，有个． 故符合题意的六位数共有＋＝504(个)． (3)法一(直接法)：第1类，当千位上排1，3时，有＝72(个)； 第2类，当千位上排2时，有＝24(个)； 第3类，当千位上排4时， 形如40△2，42△0的各有个，共有＝6(个)， 形如41△△的有＝6(个)， 形如43△△的只有4310和4302这两个数． 故共有72＋24＋6＋6＋2＝110(个)不大于4310的四位偶数． 法二(排除法)：四位偶数中，0在个位的有＝60(个)； 0在十位、百位的分别有＝24个，共48个； 不含0的有＝48(个)． 故四位偶数共有60＋48＋48＝156(个)． 其中大于4310的情况如下：形如5△△△的有个； 形如45△△的有个；形如435△的有个； 形如432△的只有4320一个；形如431△的只有4312一个． 故大于4310的四位偶数共有＋＋＋1＋1＝46(个)． 因此，符合题意的四位偶数共有156－46＝110(个)． [母题探究] 1．(变结论)若例题中的条件不变，求能被5整除的五位数有多少个？ [解]　能被5整除的数字个位必须为0或5，若个位上是0，则有个；个位上是5，若不含0，则有个；若含0，但0不作首位，则0的位置有种排法，其余各位有种排法，故共有＋＋＝216(个)能被5整除的五位数． 2．(变结论)本例条件不变，若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则240135是第几项？ [解]　由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有个数，首位数字为2，万位上为0，1，3中的一个有个数，所以240135的项数是＋1＝193，即240135是数列的第193项． 　数字排列问题的常用方法及注意事项 常用方法：主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位置，若一个位置安排的元素影响到另一个位置的元素个数时，应分类讨论． 注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理． [跟进训练] 1．(源自人教B版教材)用0，1，2，…，9这10个数字，可以排成多少个没有重复数字的四位偶数？ [解]　满足条件的四位数可以分为两类： 第一类的末位数字是0，有个． 第二类的末位数字不是0．要排成这样的四位数，可以分成三个步骤来完成：第一步，确定末位数字，因为只能是2，4，6或8，所以有种方法；第二步，确定首位数字，因为数字不能重复，所以有种方法；第三步，确定中间两位数字，有种方法．由分步乘法计数原理可知，这样的数字有个． 由分类加法计数原理可知，满足条件的四位数个数为＋＝9×8×7＋4×8×8×7＝41×56＝2296． 类型2　排队、排节目问题 　元素的“在”与“不在”问题 【例2】　从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题． (1)甲不在首位的排法有多少种？ (2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？ (3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？ (4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？ [解]　(1)把元素作为研究对象． 第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上，有种排法；