（讲义）第6章 6.2 6.2.2 第1课时 排列数公式-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教A版)

6.2.2　排列数 第1课时　排列数公式 学习任务 1．能用计数原理推导排列数公式．(数学抽象) 2．能运用排列数公式熟练地进行相关计算．(数学运算) 有30人参观完一景点后，要在旁边站成一排照相，那么这30人的排列顺序有多少种？这样的排列问题能否用一个公式来表示呢？ 知识点　排列数与排列数公式 排列数定义及表示 从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示 全排列的概念 n个不同的元素全部取出的一个排列 阶乘的概念 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示 排列数公式 ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 阶乘式＝(n，m∈N*，mn) 特殊情况 ＝n！，1！＝1，0！＝1 排列数公式的特征： (1)乘积是m个连续正整数的乘积． (2)最大的因数是n，最小的因数是n－m＋1． (3)m，n∈N*，mn，当m>n时不成立． 排列与排列数有何区别？ [提示]　“排列”是指从n个不同的元素中任取m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数，是一个数． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)因为排列数的阶乘式是一个分式，所以其化简的结果不一定是整数．(　　) (2)表示从5个不同元素中取出(5－2)个元素的所有不同的排列的个数．(　　) (3)若＝10×9×8×7×6，则n＝10，m＝6． (　　) (4)n！＝1×2×3×…×(n－1)×n． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ [提示]　(1)排列数是从若干个元素中取出若干个元素的排列的个数，所以排列数一定是整数． (2)表示从5个不同元素中取出2个元素的所有不同的排列的个数． (3)在中，m表示连乘因数的个数，所以n＝10，m＝5． (4)n！＝1×2×3×…×(n－1)×n．故正确． 2．2022×2021×2020×…×2000＝(　　) 　　　　　 C． C　[因为2022－2000＋1＝23，所以2022×2021×2020×…×2000＝．] ．＝________．(用数字表示) 120　[] 4．甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有________种． 6　[由排列定义得，共有＝6种排列方法．] 类型1　排列数的计算 【例1】　(源自北师大版教材)计算下列排列数： ；；；． [解]　＝15×14×13＝2730； ＝50×49×48＝117600； ＝5！＝120； ＝720． 　排列数的计算方法 (1)常用公式：排列数的乘积公式； (2)乘积公式的逆用：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数； (3)应用排列数公式的阶乘形式，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量． [跟进训练] 1．(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*，且n<55)＝(　　) 　　　　　 C． B　[因为55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15(个)， 所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝．] 类型2　与排列数有关的求解与证明 　与排列数相关的方程或不等式 【例2】　(1)解方程； (2)解不等式：． [解]　(1)由，得， 即， 化简得x2－19x＋78＝0，解得x＝6或x＝13． ∵0<x8且0<x－19，x∈N*，∴原方程的解为x＝6． (2)原不等式可化为>， 即x2－21x＋104>0，整理得(x－8)(x－13)>0， ∴x<8或x>13． 又易得2<x9，x∈N*， ∴2<x<8，x∈N*． 故x＝3，4，5，6，7． ∴不等式的解集为{3，4，5，6，7}． 　利用排列数公式化简与证明 【例3】　求证：－． [证明]　∵－ ＝ ＝ ＝ ＝m， ∴－． 　排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算． [跟进训练] 2．不等式的解集为________． {8}　[由题意可得，原不等式可化为<6×，化简得1<，即x2－19x＋84<0，解得7<x<12．又 解得2＜x8，又x∈N＋，所以x＝8．] 3．求证：＝135…(2n－1)． [证明]　＝ ＝ ＝＝135…(2n－1)， 故原等式成立． 类型3　排列数公式的简单应用 【例4】　某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？ [解]　分3类：第1类，用1面旗