（讲义）第6章 6.2 6.2.1 排列-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教A版)

6.2　排列与组合 6.2.1　排列 学习任务 1．理解并掌握排列的概念．(数学抽象) 2．能应用排列知识解决简单的实际问题．(逻辑推理) 在数学竞赛颁奖仪式上，辅导老师和甲、乙两名特等奖获得者合影留念，师生三人站成一排，辅导老师在正中间时，甲在左边和乙在左边是相同的排列吗？ 知识点　排列的概念 1．定义：一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2．两个排列相同的充要条件 (1)两个排列的元素完全相同． (2)元素的排列顺序相同． 1．如何判断一个具体问题是不是排列问题？ [提示]　(1)首先要保证元素互异性，即从n个不同元素中，取出m个不同的元素，否则不是排列问题． (2)要保证元素的有序性，即安排这m个元素时是有序的，有序就是排列，无序则不是排列． 而检验它是否有序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化是有序，无变化就是无序． 2．同一个排列中，同一个元素能重复出现吗？ [提示]　不能，因为给出的n个元素互不相同，且抽取的m个元素是从n个元素中不重复地抽取的． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列． (　　) (2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题． (　　) (3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题． (　　) (4)从3，5，7，9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题． (　　) (5)从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√ [提示]　(1)因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺序也相同． (2)因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺序”有关，属于排列问题． (3)因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题． (4)因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同，结果不同．结果与顺序有关，故属于排列问题． (5)因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题． 2．下列问题中是排列问题的是(　　) A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学 B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加演讲比赛 C．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学担任歌咏比赛评委 D．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学担任正、副班长 D　[从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学与从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加同一项活动，都没有顺序问题，不是排列，而担任不同的职务是排列问题．] 3．元旦来临之际，某寝室四位同学各有一张贺年卡，并且要送给该寝室的其他一位同学，但每人都必须得到一张，则不同的送法有________种． 9　[将4张贺年卡分别记为A，B，C，D，且按题意进行排列，用树状图表示为： 由此可知共有9种送法．] 类型1　排列的概念 【例1】　判断下列问题是否为排列问题． (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)选2个小组去种菜； (4)选10人组成一个学习小组； (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班40名学生在假期相互通信． [思路导引]　 — [解]　(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题． (2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题． (5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题． 所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题． 　判断一个问题是否为排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑： (1)“取”，检验取出的m个元素是否重复； (2)“排”，检验取出的m个元素是否有顺序性，其关键方法是，交换两个位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序． [跟进训练] 1．从集合{3，5，7，9，11}中任取两个元素，①相加可得多少个不同的和；②相除可得多少个不同的商；③作为椭圆＝1中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程；④作为双曲线＝1中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程．这四个问题中属于排列问题的是________．(填序号) ②④　[因为加法满足交换律，所以①不是排列问题；因为除法不满足交换律，如≠，所以②是排列问题；若方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小一定，故③不是排