（讲义）第6章 6.2 6.2.3 6.2.4 第2课时 组合的综合应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教A版)

第2课时　组合的综合应用 学习任务 1．能应用组合知识解决有限制条件的组合问题．(逻辑推理) 2．掌握解决组合实际问题的常用方法．(逻辑推理) 类型1　有限制条件的组合问题 【例1】　“315”消费者权益日，工商局对35件奶制品进行抽样调查，已知其中有15件不合格．现从35件奶制品中选取3件． (1)其中不合格品A必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中不合格品B不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2件不合格品在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有2件不合格品在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有2件不合格品在内，不同的取法有多少种？ [解]　(1)从余下的34件奶制品中， 选取2件有＝561(种)取法， 所以不合格品A必须在内的不同取法有561种． (2)从34件可选奶制品中，选取3件， 有＝5984(种)取法． 所以不合格品B不能在内的不同取法有5984种． (3)从20件合格品中选取1件，从15件不合格品中选取2件，有＝2100(种)取法． 所以恰有2件不合格品在内的不同取法有2100种． (4)选取2件不合格品，1件合格品有种取法，选取3件不合格品有种取法，共有选取方法＋＝2100＋455＝2555种． 所以至少有2件不合格品在内的不同取法有2555种． (5)法一(间接法)：选取3件奶制品的取法总数为，选取3件不合格品的取法总数为，因此共有选取方法－＝6545－455＝6090种． 所以至多有2件不合格品在内的不同取法有6090种． 法二(直接法)：共有选取方法＋＋＝6090种． 所以至多有2件不合格品在内的不同取法有6090种． 　有限制条件的两类组合问题 (1)“含”与“不含”问题，常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数． (2)“至多”“至少”问题，常有两种解决思路．一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏． 正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键． [跟进训练] 1．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．按下列要求各有多少种不同的选法？ (1)选出2名教师参加会议，恰有1名男教师； (2)选出2名教师参加会议，至少有1名男教师； (3)选出2名教师参加会议，至多有1名男教师． [解]　(1)2名教师中恰有1名男教师，则选出1男1女，有＝6×4＝24(种)不同选法． (2)法一(直接法)：至少有1名男教师可分两类：1男1女有种选法，2男0女有种选法．根据分类加法计数原理，共有＋＝39(种)不同选法． 法二(间接法)：选出2名教师参加会议，至少有1名男教师，也就是从10名教师中选出2名教师参加会议的选法种数减去2名都是女教师的选法种数，即－＝39(种)． (3)法一(直接法)：至多有1名男教师包括两类：1男1女有种选法，0男2女有种选法．由分类加法计数原理，有＋＝30(种)选法． 法二(间接法)：选出2名教师参加会议，至多有1名男教师，也就是从10名教师中选出2名教师参加会议的选法种数减去2名都是男教师的选法种数，即－＝30(种)． 类型2　几何中的组合问题 【例2】　如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4． (1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？ (2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？ [解]　(1)法一：可作出三角形＋＋＝116(个)． 其中以C1为顶点的三角形有＋＋＝36(个)． 法二：可作三角形－＝116(个)， 其中以C1为顶点的三角形有＋＋＝36(个)． (2)可作出四边形＋＋＝360(个)． 　(1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法． (2)解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法解决，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理． [跟进训练] 2．平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？ [解]　法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类标准． 第1类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有＝48(个)不同的三角形； 第2类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有＝112(个)不同的三角形； 第3类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有＝56(个)不同的三角形． 由分类加法计数原理知，不同的三角形共有 48＋112＋56＝216(个)． 法二：从12个点中任意取3个点，有＝220种取法，而在共线的4个