（练习）课时分层作业10 数学探究 杨辉三角的性质与应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教A版)

课时分层作业(十)　数学探究　杨辉三角的性质与应用 一、选择题 1．观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是(　　) A．8　　　B．6　　　C．4　　　D．2 2．如图所示，在由二项式系数构成的杨辉三角中，第m行从左到右第14个数与第15个数的比为2∶3，则m＝(　　) A．40　　　　B．50　　　　C．34　　　　D．32 3．杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第15个数是(　　) A．14　　　　B．15　　　　C．16　　　　D．17 4．(2023辽宁沈阳二中期末)杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算法》中画有一张表示二项式展开后的二项式系数构成的三角形数阵(如图所示)，称为“开方作法本源”，现简称为“杨辉三角”．若用A(m，n)表示三角形数阵中的第m行第n个数，m，n∈N*，则A(100，3)＝(　　) A．5050　　　　B．4851　　　　C．4950　　　　D．5000 5．(多选)“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示，从杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13，…，则(　　) A．在第n(n5)条斜线上，各数自左往右先增大后减小 B．在第9条斜线上，各数之和为55 C．在第11条斜线上，最大的数是 D．在第n条斜线上，共有个数 二、填空题 6．(2023福建福州高级中学期中)在如图所示的杨辉三角中，按图中箭头所指的前n个数字之和为________． 7．(2023辽宁沈阳大东质检)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为(n∈N*，n2)，每个数是它下一行左、右相邻两数的和，如，……，则第10行第4个数字(从左往右数)为________． 8．(2023江苏连云港期中)在杨辉三角中，三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数相加，这个三角形开头几行如图，则第9行从左到右的第3个数是________；若第n行从左到右第12个数与第13个数的比值为，则n＝________． 三、解答题 9．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角： (1)求第20行中从左到右的第4个数； (2)在第2斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15，在第3斜列中，第5个数为35．显然，1＋3＋6＋10＋15＝35．事实上，一般地有这样的结论：第m－1斜列中(从右上到左下)前k个数之和，一定等于第m斜列中第k个数． 试用含有m，k(m，k∈N*)的数字公式表示上述结论，并给予证明． 4/4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(十) 1．B　[由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4+a=10，即a=6．] 2．C　[由题意，得第m行从左到右第n个数为，n∈N*，m∈N且n-1≤m， ∵第m行中从左到右第14个数与第15个数的比为2∶3， ∴==，∴m=34． 故选C．] 3．B　[由杨辉三角知：第1行：；第2行：；第3行：；第4行：，由此可知第n行，第r(1≤r≤n+1)个数为，所以第15行第15个数是==15．故选B．] 4．B　[由二项展开式中各二项式系数可知，第m行第n个数应为， 所以第100行第3个数为==4 851，即A(100，3)=4 851．故选B．] 5．AC　[对于A，由题意及题图中规律可知，在第n(n≥5)条斜线上，各数都是自左往右先增大后减小，∴A正确； 对于B，根据杨辉三角定义继续往下写三行，得 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 结合题图知，第九条斜线上，各数之和为1+10+15+7+1=34，∴B错误． 对于C，第11条斜线上，最大的数为35=，∴C正确． 对于D，由题图，可知每条斜线上数的个数为1，1，2，2，3，3，…，代入，不符合，∴D不正确． 故选AC．] 6．(或)　[由题图可知， 按图中箭头所指的前n个数字之和为 +++…+=+++…+=++…+=… ==．] 7．　[将杨辉三角中的每一个数即可得到“莱布尼茨调和三角形”，杨辉三角中，第10行第4个数字为=84，所以“莱布尼茨调和三角形”中第10行第4个数字为=．] 8．36　27　[依题意，得第9行从左到右的第3个数是==36． ∵第n行从左到右第12个数与第13个数的比值为，∴===，解得n=27．] 9．解：(1)=1 140． (2)++…+=． 证明如下： 左边=++…+ =++…+