（课件）第6章 数学探究 杨辉三角的性质与应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教A版)

第六章　计数原理 数学探究　杨辉三角的性质与应用 1 学习 任务 1．经历发现数学关联、提出数学问题、得到数学结论、推理论证、综合应用的过程，掌握数学探究活动的方法，提升数学学科核心素养． 2．经历从类比模仿到自主创新、从局部实施到整体构想的过程，初步掌握数学课题研究的基本方法． 数学探究　杨辉三角的性质与应用 课时分层作业 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 必备知识·情境导学探新知 01 数学探究　杨辉三角的性质与应用 课时分层作业 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 3 杨辉三角是我国数学史上的一个伟大成就，从数学角度体现了中华优秀传统文化．阅读《详解九章算法》一书中的开方作法本源图，如图，其中蕴藏着许多数学的奥秘． 数学探究　杨辉三角的性质与应用 课时分层作业 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 此图为开方作法本源图，现在杨辉算书的传本中都没有这个图，只在明朝《永乐大典》(1407)抄录的《详解九章算法》中还保存着这份宝贵遗产．《详解九章算法》由杨辉所著，他在书中提到“出释锁算书，贾宪用此术”．这说明，在我国至迟贾宪时期就已经发明了这个数字三角形．关于贾宪的生平，所知甚少．根据一些记载，只能推定贾宪著书的年代是在1023年至1050年这段时期． 数学探究　杨辉三角的性质与应用 课时分层作业 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 知识点　杨辉三角的性质 1．如图所示，结合杨辉三角与二项式(a＋b)n的展开式的二项式系数可发现如下性质： 第n行的n＋1个数是二项式(a＋b)n的展开式的系数； 当行数n为偶数时最大； 当行数n为奇数时和最大． 数学探究　杨辉三角的性质与应用 课时分层作业 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 数学探究　杨辉三角的性质与应用 课时分层作业 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 2．杨辉三角中各数字之间存在的性质 (1)对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即＝，如图1． 数学探究　杨辉三角的性质与应用 课时分层作业 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 (2)递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即＝＋． (3)第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即＋＋＋…＝＋＋＋…，如图2． 数学探究　杨辉三角的性质与应用 课时分层作业 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 (4)第n行数的和为2n，即＋＋＋…＋＝2n，如图3． 数学探究　杨辉三角的性质与应用 课时分层作业 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 (5)第n行各数平方和等于第2n行中间的数，即2＋2＋2＋…＋2＝，如图4． 数学探究　杨辉三角的性质与应用 课时分层作业 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 1．下面是当n＝1，2，3，4，5时，(a＋b)n(n∈N*)的展开式的二项式系数表示图． 借助右图，判断λ，μ的值分别是(　　) A．5，9　　　　　B．5，10 C．6，9　　　　　D．6，10 √ 数学探究　杨辉三角的性质与应用 课时分层作业 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 D　[观察题图可分析出“杨辉三角”中的数的特点如下： (1)每一行有(n＋1)个数字，每一行两端的数字均为1； (2)从第二行起，每一行中间的数字等于它上一行对应(即两肩上)的两个数字的和， 即＝＋，n，m∈N*． 所以λ＝3＋3＝6，μ＝4＋λ＝10．故选D．] 数学探究　杨辉三角的性质与应用 课时分层作业 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 2．如图是与杨辉三角有类似性质的三角形 数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时， b等于(　　) A．20　　　　　　 B．21 C．22　　　　　　 D．23 C　[观察题图可知，从第三行开始，每一行除开始和末尾的两个数外，中间的数分别是其两肩上相邻两个数的和，当a＝7时，b的两肩上的两个数分别为6，16，所以b＝6＋16＝22．] √ 数学探究　杨辉三角的性质与应用 课时分层作业 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 关键能力·合作探究释疑难 02 数学探究　杨辉三角的性质与应用 课时分层作业 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 15 【例】　(多选)我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中给出了著名的杨辉三角，以下关于杨辉三角的猜想中正确的有(　　) A．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都 等于它肩上两个数的和”猜想：＝＋ B．＋＋＋…＋＝165 C．第34行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3 D．由“第n行所有数之和为2n”猜想：＋＋＋…＋＝2n √ √ √ 数学探究