数列求和课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

数列求和 熟练掌握并应用等差、等比数列的前n项和公式进行数列求和； 掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法：分组求和法,裂项相消法，错位相减法等。 （1）等差求和公式 1、基本数列求和公式法 （2）等比求和公式 2、组合数列求和常用方法 （1）分组求和法；（2）并项求和法；（3）错位相减法；（4）裂项相消法. （2）求数列{5-n}的前n项和 基本数列求和 注：解法一的关键在于数清求和数列的项数. 练习.设f(n)=2+24+27+…+23n+1(n∈N*),则f(n)等于 (　　) A.(8n-1) B.(8n+1-1) C.(8n+2-1) D.(8n+3-1) [解析] f(n)=2+24+27+…+23n+1==(8n+1-1).故选B. B 思考：该求和问题中的项与项之间有怎样的关系？项能进一步的分解吗？ 适用范围：通项公式是“等差+等比”型数列的求和 注：在求和之前，一定要先判断数列通项的结构类型，如何判断？ 通项公式：一次函数 等差数列 指数型函数 等比数列 “一秒钟看清本质的人和花一辈子也看不清一件事本质的人，自然是不一样的命运” ------电影《教父》台词 注1：裂项相消法是把数列的每一项拆分成两项之差，利用正负抵消，达到简化和式的目的.（通项裂解，相加相消） 注2：裂项相消法的关键是把分母视为两个因式的积，寻找它们的差与分子的倍数关系. (2)证明:由(1)知an+1=3×2n,则bn====, 所以b1+b2+b3+…+bn= +++…++ = 1+-- = -- <×=. 练习：已知等比数列{an}的各项均为正数,公比为q(q≠1),首项为1+q,a1+a2=9. (1)求数列{an}的通项公式和前n项和Sn; (2)设bn=,求证:b1+b2+b3+…+bn<. 解:(1)由题意,得1+q+(1+q)q=9,即(1+q)2=9, 解得q=2或q=-4,因为等比数列{an}的各项均为正数,所以q=2, 所以a1=1+q=3,所以{an}的通项公式为an=3×2n-1,Sn==3×2n-3. 课堂小结 1、分组求和法适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项和的前n项和； 2、错位相减法适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和； 3、裂项相消法适用于分式的求和。 求和问题是历史上人们感兴趣的问题。公元前1800年古埃及“加罕纸草书”中就有等差数列求和问题；刘徽为《九章算术》作注时给出了等差数列求和公式；我国古代数学家对“垛积术”有专门研究，特别是与自然数相关的求和问题。 例1、求和Sn＝1eq \f(1,2)＋2eq \f(1,4)＋3eq \f(1,8)＋…＋(n＋eq \f(1,2n))． [解析]　Sn＝1eq \f(1,2)＋2eq \f(1,4)＋3eq \f(1,8)＋…(n＋eq \f(1,2n)) ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,8)＋…＋eq \f(1,2n)) ＝eq \f(nn＋1,2)＋eq \f(\f(1,2)1－\f(1,2n),1－\f(1,2))＝eq \f(nn＋1,2)＋1－eq \f(1,2n). 一、分组转化求和法 如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解． 练习：已知数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n，… (1)求其通项公式an；(2)求这个数列的前n项和Sn. [解析]　(1)an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝eq \f(1－2n,1－2)＝2n－1. ∴这个数列的通项公式为an＝2n－1. (2)Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an ＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1) ＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝eq \f(21－2n,1－2)－n＝2n＋1－n－2. 思考：数列 的前n项和 研究一下，能否找到 的一个公式。你能对这个问题作一些推广吗？ 二、裂项求和法 对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项，常见的裂项公式： 常用裂项拆项的方法小结如下： （1）， （2） （3） 例2：eq \f(1,1×4)＋eq \f(1,4×7)＋eq \f(1,7×10)＋…＋eq \f(1,3n－23n＋1)等于(　　) A.eq \f(n,3n＋1)　　B.eq \f(3n,3n＋1) C．1－eq \f(1,n＋1) D．3－eq