（讲义）第5章 微专题3 导数构造法解决函数问题-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版)

色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 微专题3 导数构造法解决函数问题 在考试中经常见到一类试题，不给出解析式，而是给出函数x)及其导数满足的 条件，需要据此条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，须应用 单调性解决问题的这类题目具有一定的难度，下面总结其基本类型的处理方法： 1.关系式为“加”型 (1))g(x)+)g'(x))g('=f(x)g(x)+Ax)g'(). (2)yf'(x)十x)≥0构造[yx'=xf'(x)+x) (3f'x)+fx)≥0构造[ex'=e'[f'(x)+x)l 2.关系式为“减”型 （/eg)-ge)构造调} f(xxf(x [gx 2时)一)≥0构造[g],=倒 6)-)≥0构造[g] f(x)e-f(x)e f(xf(x) (e2 e 类型1关系式为“加”型 【例1】(1)己知函数x)的定义域为R,且对任意的x∈R,∫'(x)+x)>0.则对 任意正数a必有( ) A.na)eao) B.fa)ef0) C.Nay D.Ra (2)设∫(x)是定义域为R的函数x)的导函数，f()3,-3)=一2，则)>3x +7的解集为() A.(-∞，-1) B.(-∞，-3) C.(-3,0)U(1,+∞) D.(-1,0)U(1,+∞) (3)已知y=x)是定义在R上的偶函数，且当x心0时，不等式xf"(x)+x)0成立， 若a=30.3·f30.3),b=log3·flog3),c=log3吉·fog3青)，则a,b,c的大小 关系是 (4)设x),g(x)是R上的可导函数，f'(x)g(x)+x)g(x)0,g(一3)=0，求不等式 x)g(x)0的解集。 (1)D(2)B(3)c>b>a[(I)构造函数F(x)=ex),则F(x)=e[f'(x)+fx>0, 独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 故Fw)在R上单调递增，又a心0，所以F(a)>F0),即e吼aPeO),所以aP。 0 ，故选D (2)因为f(x)3,即f'(x)-3<0,设函数g(x)=x)一3x,g(x)=f'(x)一3<0，则g (x)在R上单调递减， 又一3)=一2，所以g(一3)=-3)一3×(-3)=7，不等式)>3x+7转化为：f ()3心7，即g0w)Pg(-3),所以x×-3. (3)令g(x)=x),则g(x)=f"(x)十x).由条件知，0时，g(x)0,即gx)在(0， 十o)上单调递减.又x)为偶函数，则g(x)为奇函数，故g(x)在R上单调递减.又 log3<log3<30.3,所以c>b>a.J (4)[解]因为f"(x)g(x)十x)g(x)的原函数为x)g(x),构造新函数x)=xg(x)可 知h(x)0,h(x)单调递诚，又因为g(一3)=0，即h(一3)=0，所以x)g(x)0的 解集是(-3，十o). 类型2关系式为“减”型 【例2】(I)设fx)、g(x)是定义域为R的恒大于0的可导函数，且f'(x)g(x)一f (x)g(x)0,则当ab时有() A.Ax)g(x)Ab)g(b) B.A)g(b)Ab)g(x) C.Ax)g(a)fag(x) D.f)g(x)fa)g(x) (2)设函数f(x)是奇函数xx∈R)的导函数，一1)=0，当0时，xf"()一f (x)0,则使得x)>0成立的x的取值范围是() A.(-∞，-1)U(0,1) B.(-1,0)U(1,+∞) C.(-∞，-1)U(-1,0) D.(0,1)U(1,+∞) (3)若可导函数x)x∈R)满足f'(x)一fx)>0,比较1)与ef0)的大小为1) e0). fx f8)g8fx)g武 (I)B(2)A(③)>【1)设F)=司，则F'()= [8x ,由f"(x)g(x)一f (x)g(x)0,得F(x)0,所以Fx)为减函数。 因为ab所以器得，又)、g闲是定义城为R的恒大于0的可导函 f(b f(x f(a 2/6 独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 数， 故x)g(b)Pb)g(x). 2)构造函数g)=婴，则g)=国，国为当0时，)一0，故 2 当x0时，g(x)0,所以g(x)在(0，十o)上单调递减.又因为x)x∈R)是奇函数， 故函数g()是偶函数， 所以g(x)在（一0,0）上单调递增，且g(一1)=g(1)=0.当0<x<1时，g(x)>0,则f (x)>0: 当x<一1时，g(x0,则x)>0,综上所述，使得x>0成立的x的取值范围是 (-0,-1)U(0,1) ⊙)构造F)=g, 则F'(x)= f(x)eef(x) (e32 =80, e 所以F()是R上的单调递增函数， 因光F1>F0.即型9,1)Pe0.】 微专题强化练（三） 导数构造法解决函数问 题 一、选择题 1.函数x)的定义域为R,一1)=2，对任意x∈R,f'(x)>2,则x)>2x十4的 解集为() A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞，-1) D.(-∞，十∞) B/x)>2x+4→fx)一2x>4,令g(w)=fx)一2x,g(x)=f'(x)一20，所以g(x)为R 的单调递增函数，又因为g(一1)=一1)一2×（一1）=4，所以不等式的解集为 (-1,+o).] 2.已知f'(x)是定义在R上的函数x)的导函数，且满足y'(x)十x)>0对任意的 x∈R都成立，则下列选项中一定正确的是() A.I)9 B.92 3/6 独家授权侵权必究· 色学科网书城▣ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXk.Com○ 您身边的互联网+教辅专家 c.1)g D.g<2) 2 D【令Fx)=xx),则F(x)=f'(x)十x)0,故Fx)为R上的增函数， 所以F(2)>F(1),即22)>1).] 3.已知x)是R上的可导函数，且任意x∈R,均有x)f'(x),则有() A.c2023-2023f0),2023)Pe20230) B.e2023-2023)0),f2023)e20230) C.e2023-2023)>0),f2023)>e20230) D.c2023-2023)P0),2023)c20230) D[构造禹数=g,则)=[型]=型=型0， 所以函数h)=g在R上单调递减， 故M-20230.即202 e0 e2023-2023)>f0): 同理，2023)0)，即f2023e20230),故选D.] 4.设定义在(0，+∞)的函数x)的导函数为f'x),且满足f'(x)+3x)>0,则关 于x的不等式（等-1）x-3)一3)0的解集为( ) A.(3,6) B.(0,3) C.(0,6) D.(6,+∞) A[令g(x)=x3x),则g(x)=x2[3x)+f'(x>0, 所以g(x)在(0，十o)上单调递增， (等-1)3x-3)-f3)0,即6-3)x-3)-273)0, 所以g一3)下g(3), (x-3<3 1x-3>0，所以3<6.] 5.(多选)已知函数x),gx)在区间[a,b]上均有f'(x)gx),则在[a,b]上，下 列关系式中正确的是() A.x)+b)≥gx)+g(b) B.x)-fb)≥gx)-gb) C.fx)+g(a≤gc)+a) D.fx)+g(a)≥gc)+fa) 40 独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 BC据题意， 由f'(x)g'(x)得f'x)一g'(x)0, 故F(x)=x)一g(x)在[a,b]上为减函数， 由单调性知识知，在[a,b]上必有F(x)≥F(b) 即x)-g(x)≥b)一g(b), 移项整理得：x)一b)≥gx)一g(b) 同理F(x)≤F(a),x)-gx)≤fa)一g(a), 移项整理得x)十g(a)≤gc)十a).] 二、填空题 6.已知)为R上的可导函数，且对任意的x∈R,均有x)十f'(x)0.比较e2o1f (2019)与0)的大小 e2012019)f0)[构造函数hx)=ex),则H(x)=cx)+ef'(x)=e[x)+f'x)] <0,即h(x)在R上单调递减， 故h(2019)h(0),即e20192019)c0),即c201920190).] 7.定义在R上的函数fx)满足x)+f'(x)>1,0)=4,则不等式ex)e+3的 解集为 (O,+∞)[因为x)十f'(x)>l,设h(x)=efx),则h(x)=e[x)十f'(x)】.不等式 ex)Per+3→cx)-er-3>0,设函数gc)=ex)-er-3,则g'(x)=(x)-er.因 为x)十f"(x)>1,所以H(x)>e,所以g'x)>0,又因为0)=4，所以g(0)=f (0)一1一3=0，综上可判断出g(x)在定义域内单调递增且g(0)=0,因此原不等式 的解集为(0，+o).] 8.设x)是定义在R上的偶函数，f"(x)为其导函数，2)=0，当x心0时，有 (x)>x)恒成立，则不等式xx0的解集为 （一，一2U(0,2)[设g)=g，40,则g=国 当x>0时，有f"P)恒成立，∴.当0时，g(x)>0,g)在(0，+o)上单调 递增， “)是定义在R上的偶函数，g(-x)=图=四=一g, 即g(x)是定义在（一0,0）U(0,十0)上的奇函数， g(x)在（一0,0）上也单调递增. 5/6 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 又2)=0，·g2)=号=0，g-2)=0.不等式0的解可等价于即8 (x)0的解， ∴0<x2或x<-2,∴.不等式的解集为（一0，一2）U(0,2).1 三、解答题 9.已知函数x)的定义域为R,且其图象关于坐标原点对称，当>0时，对xy )+2孔)0)为)的导函数)，求使得器>0成立的x的取值范围. [解]令g()=x2x),由题可知x)为奇函数， ∴g(x)也为奇画数，g(x)=2xx)十x2fx), ,当心0时，Wf"(x)+2x)0,即x2f(x)+2x0 当>0时，g(x0,g(x)在(0，+o)上单调递减. ,gx)在R上为奇函数，g(x)在R上单调递减，且g(0)=0, 当x<0时，gx)=x2x)>0,即x)>0, 当x=0时，0)=0， 当0时，x)0, g0, ∴①当x0时，由x)0,得x2-2>0,解得的解集为x-2: ②当=0时，0)=0，则驾>0的解集为空集： ③当心0时，由x)0,得x2-2<0,解得的解集为x0xV2} 综上所述，x的取值范围为（一0，-2）U0,2) 00 ◆独家授权侵权必究·