（讲义）第5章 5.3 5.3.1 函数的单调性-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版)

5.3　导数在研究函数中的应用 5.3.1　函数的单调性 学习任务 1．了解函数的单调性与导数的关系．(数学抽象) 2．能利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间．(数学运算) 3．能利用导数研究与函数单调性相关的问题．(数学运算、逻辑推理) 如图为某市一天内的气温变化图： (1)观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况． (2)怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征？ 问题：观察图形，你能得到什么信息？ 知识点1　函数的单调性与其导数的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f ′(x)的正负 f(x)的单调性 f ′(x)＞0 单调递增 f ′(x)＜0 单调递减 如果在某个区间内恒有f ′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？ [提示]　f(x)是常数函数． 知识点2　判断函数y＝f(x)的单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f ′(x)的零点； 第3步，用f ′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 知识点3　函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 原函数的图象通常只看增减变化，而导函数的图象通常对应只看正负变化． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数在某一点处的导数越大，函数的图象在该点处的切线越“陡峭”．(　　) (2)函数在某个区间上变化得越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　　) [答案]　(1)×　(2)√ [提示]　函数在某一点处的导数的绝对值越大，函数的图象在该点处的切线越“陡峭”，故(1)错，(2)正确． 2．若定义域为R的函数f(x)的导数f ′(x)＝2x(x－1)，则f(x)在区间__________上单调递增，在区间________上单调递减． (1，＋∞)　(－∞，1)　[f ′(x)＞0得x＞1，f ′(x)＜0时x＜1. ∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减．] 3．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间为__________． (0，＋∞)　[∵f(x)＝ex－x， ∴f ′(x)＝ex－1. 由f ′(x)＞0得，ex－1＞0， 即x＞0. ∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．] 类型1　导函数与原函数的关联图象 【例1】　(1)已知函数f(x)的导函数f ′(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能的是(　　) A B 　C D (2)设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f ′(x)的图象可能为(　　) A B C D (1)A　(2)C　[(1)x＜－2时，f ′(x)＜0，则f(x)单调递减；－2＜x＜0时，f ′(x)＞0，则f(x)单调递增；x>0时，f ′(x)<0，则f(x)单调递减． 则符合上述条件的只有选项A.故选A. (2)由f(x)的图象知：当x∈(－∞，1)时，f(x)单调递减，f ′(x)＜0； 当x∈(1，4)时，f(x)单调递增，f ′(x)＞0； 当x∈(4，＋∞)时，f(x)单调递减，f ′(x)＜0. 由选项各图知：选项C符合题意，故选C.] 反思领悟　研究函数图象与其导函数图象之间的关系的着手点 (1)观察原函数的图象，重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势． (2)观察导函数的图象，重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负． [跟进训练] 1．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)可能为(　　) A B C D D　[观察函数f(x)的图象得：f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上先递增，再递减，后又递增，则当x∈(－∞，0)时，f ′(x)＞0，即当x∈(－∞，0)时，函数y＝f ′(x)的图象在x轴上方，于是排除A，C，当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)的值先大于0，接着变为f ′(x)的值小于0，之后又变为大于0，即当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f ′(x)的图象先在x轴上方，接着变化到x轴下方，最后又变到x轴上方，于是排除B，选项D相符．] 类型2　利用导数求函数的单调区间 【例2】　求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x2－ln x； (2)f(x)＝cos x＋x，x∈(0，