（讲义）第5章 5.2 5.2.2 导数的四则运算法则 5.2.3 简单复合函数的导数-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版)

5.2.2　导数的四则运算法则　5.2.3　简单复合函数的导数 学习任务 1．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数．(数学运算) 2．能求简单的复合函数的导数．(数学运算) 海上一艘油轮发生了泄漏事故．泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S(单位：m2)是油膜半径r(单位：m)的函数：S＝f(r)＝πr2. 油膜的半径r随着时间t(单位：s)的增加而扩大，假设r关于t的函数为r＝φ(t)＝2t＋1. 思考：油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是多少？如何对该函数求导？ 知识点1　导数的运算法则 (1)和差的导数 [f(x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)． (2)积的导数 ①[f(x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ②[cf(x)]′＝cf ′(x)． (3)商的导数 ′＝(g(x)≠0)． 如果f(x)的导数为f ′(x)，c为常数，则函数cf(x)的导数是什么？ [提示]　由于常数函数的导数为0，即(c)′＝0，由导数的乘法法则，得[cf(x)]′＝cf ′(x)． 知识点2　复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 内、外层函数通常为基本初等函数． 知识点3　复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 1．下列对函数的求导正确的是(　　) A．y＝(1－2x)3，则y′＝3(1－2x)2 B．y＝log2(2x＋1)，则y′＝ C．y＝cos ，则y′＝sin D．y＝22x-1，则y′＝22xln 2 D　[A中，y′＝－6(1－2x)2，∴A错误；B中，y′＝，∴B错误；C中，y′＝－sin ，∴C错误；D中，y′＝22x-1ln 2×(2x－1)′＝22xln 2.故D正确．] 2．(1)′＝________；(2)(xex)′＝________． (1)　(2)(1＋x)ex　[(1)′＝＝； (2)(xex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.] 类型1　利用运算法则求导数 【例1】　求下列函数的导数： (1)y＝x2cos x； (2)y＝； (3)y＝ln x＋4x； (4)y＝(x＋1)(x－1)(x2＋1)． [思路引导]　根据每个函数的解析式的构成特点，利用求导公式和运算法则进行求解． [解]　(1)y′＝(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2x cos x－x2sin x. (2)法一：y′＝′＝＝. 法二：∵＝＝1－， ∴′＝′＝. (3)y′＝(ln x＋4x)′＝(ln x)′＋(4x)′＝＋4x ln 4. (4)∵y＝(x＋1)(x－1)(x2＋1)＝(x2－1)(x2＋1)＝x4－1，∴y′＝(x4－1)′＝4x3. 反思领悟　利用导数运算法则的策略 (1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组成的，确定求导法则并利用基本公式进行求解． (2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等． (3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导． [跟进训练] 1．求下列函数的导数： (1)y＝x2－sin cos ；(2)y＝xtan x. [解]　(1)∵y＝x2－sin cos ＝x2－sin x， ∴y′＝2x－cos x. (2)y′＝(x tan x)′＝′ ＝ ＝＝. 类型2　求简单复合函数的导数 【例2】　(源于人教B版教材)求下列函数的导数． (1)h(x)＝e5x-1；(2)f(x)＝ln (2x＋1)；(3)y＝；(4)y＝sin . [思路引导]　先分析每个复合函数的构成，再按照复合函数的求导法则进行求导． [解]　(1)h(x)＝e5x-1可以看成f(u)＝eu与u＝g(x)＝5x－1的复合函数，因此h′(x)＝f ′(u)g′(x)＝(eu)′(5x－1)′＝eu×5＝5e5x-1. (2)f(x)＝ln (2x＋1)可以看成h(u)＝ln u与u＝g(x)＝2x＋1的复合函数，因此h′(x)＝f ′(u)g′(x)＝(ln u)′(2x＋1)′＝×2＝. (3)y＝可以看成函数y＝与u＝2x－1的复合函数，因此y′x＝y′uu′x＝()′(2x－1)′＝