（讲义）第5章 5.2 5.2.1 基本初等函数的导数-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版)

5.2　导数的运算 5.2.1　基本初等函数的导数 学习任务 1．了解利用定义求函数的导数．(数学运算) 2．掌握基本初等函数的导数公式，并会利用公式求简单函数的导数．(数学运算) 3．能利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．(数学运算) 高铁是一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷．设一高铁走过的路程s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为s＝f(t)＝2t2，求它的瞬时速度，即求f(t)的导数．根据导数的定义，就是求当Δt→0时，所趋近的那个定值，运算比较复杂，而且，有的函数如y＝sin x，y＝ln x等很难运用定义求导数．是否有更简便的求导数的方法呢？ 知识点1　几个常用函数的导数 原函数 导数 f(x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0 f(x)＝x f ′(x)＝1 f(x)＝x2 f ′(x)＝2x f(x)＝x3 f ′(x)＝3x2 f(x)＝ f ′(x)＝－ f(x)＝ f ′(x)＝ 这6个函数都是幂函数f(x)＝xα，对它们的求导要熟练记住公式，就没必要再利用定义求导了． 知识点2　基本初等函数的导数公式 原函数 导数 f(x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f ′(x)＝αxα-1 f(x)＝sin x f ′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f ′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f ′(x)＝ax_ln_a f(x)＝ex f ′(x)＝ex f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f ′(x)＝ f(x)＝ln x f ′(x)＝ 函数f(x)＝ln x与g(x)＝logax的求导有什么内在联系？ [提示]　f(x)＝ln x，则f ′(x)＝， g(x)＝logax＝， ∴g′(x)＝′＝×(ln x)′＝. 1．(多选)下列结论正确的是(　　) A．若y＝2 023，则y′＝0 B．若y＝x，则y′＝1 C．若y＝x-1，则y′＝－x-2 D．若y＝，则y′＝ ABC　[由公式易知ABC正确．] 2．已知函数f(x)＝cos ，则f ′(x)＝(　　) A．sin B．－sin C．cos D．0 D　[f(x)＝cos ＝－，所以f ′(x)＝0.] 类型1　利用导数公式求函数的导数 【例1】　求下列函数的导数． (1)y＝cos ；(2)y＝；(3)y＝； (4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝cos . [解]　(1)∵y＝cos ＝，∴y′＝0. (2)∵y＝＝x-5，∴y′＝－5x-6. (3)∵y＝＝＝，∴y′＝． (4)∵y＝lg x，∴y′＝. (5)∵y＝5x，∴y′＝5x ln 5. (6)y＝cos ＝sin x，∴y′＝cos x． 反思领悟　求简单函数的导函数的基本方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较烦琐； (2)用导数公式求导，可以简化运算过程，降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． [跟进训练] 1．求下列函数的导数： (1)y＝x；(2)y＝(x＞0)；(3)y＝sin (π－x)． [解]　(1)∵y＝x＝， ∴y′＝′＝＝. (2)∵y＝＝(x＞0)， ∴y′＝()′＝(x>0)． (3)y＝sin (π－x)＝sin x，∴y′＝cos x． 类型2　利用导数公式解决切线问题 【例2】　(源于人教B版教材)已知函数f(x)＝x2，而l是曲线y＝f(x)的切线，且l经过点(2，3)． (1)判断(2，3)是不是曲线y＝f(x)上的点； (2)求l的方程． [思路引导]　利用导数的几何意义求解，但要注意(2，3)点不在曲线上，应另设切点求解． [解]　(1)因为 f(2)＝22＝4≠3，所以点(2，3)不是曲线y＝f(x)上的点． (2)设切点为(x0，f(x0))．因为f ′(x)＝2x， 所以切线的斜率为f ′(x0)＝2x0，又因为f(x0)＝，所以直线l的方程为＝2x0(x－x0)， 将(2，3)代入上式并整理，可得－4x0＋3＝0， 由此可解得x0＝1或x0＝3. 因此，切点为(1，1)或(3，9)，切线方程为y－1＝2(x－1)或y－9＝6(x－3)． 即l的方程为y＝2x－1或y＝6x－9. [母题探究] 1．将本例变为“求曲线f(x)＝x-2在(a，a-2)(a>0)”处的切线方程． [解]　由题意f ′(x)＝－2x-3，所以曲线f(x)＝x-2在点(a，a-2)处的切线方程为y－a-2＝－2a-3(x－a)，即y＝－2a-3x＋3a-2. 2．将本例变为“已知y＝kx是曲线y＝ln x的一