（讲义）第5章 5.1 5.1.1 变化率问题-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版)

5.1　导数的概念及其意义 5.1.1　变化率问题 学习任务 1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程．(数学抽象) 2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(数学运算) 3．理解函数的平均变化率、瞬时变化率及瞬时速度的概念．(数学抽象) 1．高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝＋6.5t＋10.那么如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？ 2．很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现随着气球内空气容量的增加，气球半径增加越来越慢，那么如何描述这种现象呢？ 知识点1　平均变化率 对于函数y＝f (x)，从x1到x2的平均变化率： (1)自变量的改变量：Δx＝x2－x1． (2)函数值的改变量：Δy＝f (x2)－f (x1)． (3)平均变化率＝ ＝． Δy，Δx可正，可负，但Δx≠0. 知识点2　瞬时速度与瞬时变化率 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． (2)函数f (x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f (x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即＝． 知识点3　割线斜率与切线斜率 (1)割线与切线的关系 如图所示，当点Pn(xn，f (xn))沿着曲线无限接近点P(x0，f (x0))时，割线PPn无限趋近于一个确定的位置．这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线． (1) (2) (3) 　(4) (2)割线与切线的斜率 ①设P0(x0，f (x0))，P(x，f (x))是曲线y＝f (x)上任意不同两点，则平均变化率＝为割线P0P的斜率． ②当P点逐渐靠近P0点，即Δx逐渐变小，当Δx→0时，瞬时变化率就是y＝f (x)在x0处的切线的斜率，即k＝． (1)曲线的切线与曲线有且只有一个公共点吗？ (2)如图，我们把一条曲线上的任意一点P附近的图象不断放大，观察有何现象出现？ [提示]　(1)不一定． 二次曲线与其切线有且只有一个公共点，其他曲线与其切线可能会有其他交点，只是在x＝x0附近有且只有一个公共点，而直线在某点处切线就是该直线．如图． (2)当不断放大时，曲线在点P附近的图象逼近一条确定的直线，即在很小的范围内，曲线可以看作直线，这就是以直代曲的思想． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知某质点的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为s(t)＝5t2，则在1 s到3 s这段时间内，该质点的平均速度为20 m/s. (　　) (2)汽车在行驶时的平均速度与瞬时速度一定不相等． (　　) [答案]　(1)√　(2)× [提示]　(2)当汽车匀速行驶时，平均速度与瞬时速度相等． 2．火箭发射t s后，其高度(单位：m)为h(t)＝0.9t2.那么t＝________ s时火箭的瞬时速度为3.6 m/s. 2　[＝ ＝ ＝0.9Δt＋1.8t0.当Δt→0时→1.8 t0.即t＝t0时的瞬时速度为1.8t0，由1.8t0＝3.6得t0＝2.] 3．过函数y＝f (x)＝x2图象上一点(2，4)及邻近一点(2＋Δx，4＋Δy)作割线，则当Δx＝时割线的斜率为________，在点(2，4)处的切线斜率为____________． 　4　[当Δx＝时，割线的斜率k1＝＝， 在(2，4)处切线斜率k2＝＝＝4.] 类型1　求平均变化率 【例1】　(1)如图，函数y＝f (x)在[1，5]上的平均变化率为(　　) A． B．－ C．2 D．－2 (2)函数y＝－2x2＋1在区间[1，1＋Δx]内的平均变化率为________． (1)B　(2)－4－2Δx　[(1)＝＝＝－.故选B. (2)Δy＝－2(1＋Δx)2＋1－(－2×12＋1) ＝－2Δx(2＋Δx)， 所以平均变化率为＝ ＝－4－2Δx.] 反思领悟　1.求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的改变量Δx＝x2－x1； 第二步，求函数值的改变量Δy＝f (x2)－f (x1)； 第三步，求平均变化率＝. 2．求平均变化率的一个关注点 求点x0附近的平均变化率，可用的形式． [跟进训练] 1．(源于人教B版教材)已知某物体运动的位移x m是时间t s的函数，而且t＝0.1时，x＝0.25；t＝0.5时，x＝2.25. (1)求这个物体在时间段[0.1，0.5]内的平均速度； (2)估计出t＝0.2时物体的位移． [解]　(1)所求平均速度为＝＝5(m/s). (2)将x在[0.1，0.5]上的图象看成直线，则由(1)可知，直线的斜率为5，且直线经过点(0.1，0.25)，因此，x与t的关系可近似地表示为x－0.25＝5(